Un laboratoire annonce qu'un médicament sauve 42 % des patients atteint d'une maladie A.
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de malades sauvés par ce médicament. X suit la loi binomiale de paramètre n=150 et p=0{,}42.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 50 | 0,0185 |
| 51 | 0,0276 |
| 52 | 0,0402 |
| 53 | 0,0571 |
| ... | ... |
| 73 | 0,9582 |
| 74 | 0,9709 |
| 75 | 0,9802 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant50\right)\approx0{,}0185 \lt 0{,}025
- p\left(X\leqslant 51\right)\approx0{,}0276\gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 51.
a=51
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 74\right)\approx0{,}9\ 709 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 75\right)\approx0{,}9\ 802 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 75.
b=75
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=51
- b=75
- n=150
D'où, l'intervalle de fluctuation est :
\left[\dfrac{51}{150};\dfrac{75}{150}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0{,}34;0{,}5 \right].