La proportion des personnes ayant les yeux marrons dans un groupe de 200 personnes est 0,32.
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de personnes ayant les yeux marrons dans la population française. X suit la loi binomiale de paramètre n=200 et p=0{,}32.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 49 | 0,0126 |
| 50 | 0,0188 |
| 51 | 0,0273 |
| 52 | 0,0388 |
| ... | ... |
| 76 | 0,9696 |
| 77 | 0,9784 |
| 78 | 0,9849 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant50\right)\approx0{,}0188 \lt 0{,}025
- p\left(X\leqslant 51\right)\approx0{,}0273\gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 51.
a=51
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 76\right)\approx0{,}9\ 696 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 77\right)\approx0{,}9\ 784 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 77.
b=77
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=51
- b=77
- n=200
D'où, l'intervalle de fluctuation est :
\left[\dfrac{51}{200};\dfrac{77}{200}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0{,}255;0{,}385 \right].