Un éthylotest est efficace à 90% pour identifier si quelqu’un est au-dessus ou non de la limite légale d’alcoolémie pour conduire.
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de tests affichant un résultat correct. X suit la loi binomiale de paramètre n=100 et p=0{,}90.
On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p\left(X\leqslant k\right).
| k | p\left(X\leqslant k\right) |
|---|---|
| 82 | 0,010 |
| 83 | 0,0206 |
| 84 | 0,0399 |
| 85 | 0,0726 |
| ... | ... |
| 94 | 0,9424 |
| 95 | 0,9763 |
| 96 | 0,9922 |
Quel est le plus petit entier a, tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt0{,}025 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est strictement supérieur 0,025.
On lit :
- p\left(X\leqslant83\right)\approx0{,}0206 \lt 0{,}025
- p\left(X\leqslant 84\right)\approx0{,}0399\gt 0{,}025
Donc le plus entier a tel que p\left(X\leqslant a\right)\gt 0{,}025 est 84.
a=84
Quel est le plus petit entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 ?
Dans le tableau, on cherche la plus petite valeur de k pour laquelle p\left(X\leqslant k\right) est supérieur ou égal à 0,975.
On lit :
- p\left(X\leqslant 94\right)\approx0{,}9\ 424 \lt 0{,}975
- p\left(X\leqslant 95\right)\approx0{,}9\ 763 \geqslant 0{,}975
Donc le plus entier b tel que p\left(X\leqslant b\right)\geqslant 0{,}975 est 95.
b=95
Quel est l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence ?
Dans le cadre d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence est \left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].
Ici, on a :
- a=84
- b=95
- n=100
D'où, l'intervalle de fluctuation est :
\left[\dfrac{84}{100};\dfrac{95}{100}\right]
L'intervalle de fluctuation à 95% est \left[0{,}84;0{,}95 \right].