Rechercher les tangentes horizontales Exercice

La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes) donc dérivable sur son ensemble de définition.

Ainsi f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{5}{2} \right\}.

On a f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{5}{2} \right\} :

• u\left(x\right)=x^2+3x-15
• v\left(x\right)=-2x+5

Ainsi f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{5}{2} \right\} :

• u'\left(x\right)=2x+3
• v'\left(x\right)=-2

Donc, pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{5}{2} \right\}, on a :

f'\left(x\right)=\dfrac{\left(2x+3\right)\left(-2x+5\right)-\left(x^2+3x-15\right)\times\left(-2\right)}{\left(-2x+5\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{-4x^2+10x-6x+15-\left(-2x^2-6x+30\right)}{\left(-2x+5\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{-4x^2+10x-6x+15+2x^2+6x-30}{\left(-2x+5\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{-2x^2+10x-15}{\left(-2x+5\right)^2}

Une tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul. Or, le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a est f'\left(a\right).

C_f admet donc une tangente horizontale au point d'abscisse x si et seulement si f'\left(x\right)=0.

f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \dfrac{-2x^2+10x-15}{\left(-2x+5\right)^2}=0

Or un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Ainsi, sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{5}{2} \right\}, f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow-2x^2+10x-15=0.

\Delta=b^2-4ac=10^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-15\right)=100-120=-20

\Delta\lt0, donc l'équation -2x^2+10x-15=0 n'admet pas de solution.