Etudier la dérivabilité de f en a en revenant au taux d'accroissement de f en a Exercice

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Dernière modification : 22/03/2019 - Conforme au programme 2018-2019

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-x^2+2

f est-elle dérivable en 1 ?

Donc f n'est pas dérivable en 1.

Donc f est dérivable en 1 et f'\left(1\right)=-2 .

Pour étudier la dérivabilité de f en 1, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en 1.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_{1}\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}

T_{1}\left(x\right)=\dfrac{-x^2+2-\left(-1^2+2\right)}{x-1}

T_{1}\left(x\right)=\dfrac{-x^2+2+1-2}{x-1}

T_{1}\left(x\right)=\dfrac{1-x^2}{x-1}

T_{1}\left(x\right)=\dfrac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{x-1}

T_{1}\left(x\right)=\dfrac{-\left(x-1\right)\left(1+x\right)}{x-1}

T_{1}\left(x\right)=-\left(x+1\right)

T_{1}\left(x\right)=-x-1

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par 1 dans le taux d'accroissement, on obtient -2.

Donc le taux d'accroissement de f en 1 admet pour limite -2.

Donc f est dérivable en 1 et f'\left(1\right)=-2 .

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2+5

f est-elle dérivable en -3 ?

Donc f est dérivable en −3 et f'\left(-3\right)=-6 .

Donc f n'est pas dérivable en −3.

Pour étudier la dérivabilité de f en -3, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en -3.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_{-3}\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(-3\right)}{x-\left(-3\right)}

T_{-3}\left(x\right)=\dfrac{x^2+5-\left(\left(-3\right)^2+5\right)}{x+3}

T_{-3}\left(x\right)=\dfrac{x^2+5-9-5}{x+3}

T_{-3}\left(x\right)=\dfrac{x^2-9}{x+3}

T_{-3}\left(x\right)=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+3}

T_{-3}\left(x\right)=x-3

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par -3 dans le taux d'accroissement, on obtient -6.

Donc le taux d'accroissement de f en -3 admet pour limite -6.

Donc f est dérivable en -3 et f'\left(-3\right)=-6 .

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^* par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}

f est-elle dérivable en 5 ?

Donc f est dérivable en 5 et f'\left(5\right)=-\dfrac{1}{25} .

Donc f n'est pas dérivable en 5.

Pour étudier la dérivabilité de f en 5, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en 5.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_5\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(5\right)}{x-5}

T_5\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{5}}{x-5}

T_5\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{5-x}{5x}}{x-5}

T_5\left(x\right)=\dfrac{5-x}{5x}\times\dfrac{1}{x-5}

T_5\left(x\right)=\dfrac{-\left(x-5\right)}{5x}\times\dfrac{1}{x-5}

T_5\left(x\right)=\dfrac{-1}{5x}

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par 5 dans le taux d'accroissement, on obtient -\dfrac{1}{25}.

Donc le taux d'accroissement de f en 5 admet pour limite -\dfrac{1}{25}.

Donc f est dérivable en 5 et f'\left(5\right)=-\dfrac{1}{25} .

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x-2

f est-elle dérivable en 4 ?

Donc f n'est pas dérivable en 4.

Donc f est dérivable en 4 et f'\left(4\right)=3 .

Pour étudier la dérivabilité de f en 4, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en 4.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_4\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(4\right)}{x-4}

T_4\left(x\right)=\dfrac{3x-2-\left(3\times4-2\right)}{x-4}

T_4\left(x\right)=\dfrac{3x-2-12+2}{x-4}

T_4\left(x\right)=\dfrac{3x-12}{x-4}

T_4\left(x\right)=\dfrac{3\left(x-4\right)}{x-4}

T_4\left(x\right)=3

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par 4 dans le taux d'accroissement, on obtient toujours 3, puisque x n'est pas présent dans la valeur de T_4\left(x\right).

Donc le taux d'accroissement de f en 4 admet pour limite 3.

Donc f est dérivable en 4 et f'\left(4\right)=3 .

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\sqrt{x}

f est-elle dérivable en 4 ?

Donc f est dérivable en 4 et f'\left(4\right)=\dfrac{1}{4} .

Donc f n'est pas dérivable en 4.

Pour étudier la dérivabilité de f en 4, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en 4.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_4\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(4\right)}{x-4}

T_4\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{x-4}

T_4\left(x\right)=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{4}\right)}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{4}\right)}

T_4\left(x\right)=\dfrac{\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{4}\right)}

T_4\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{4}}

T_4\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par 4 dans le taux d'accroissement, on obtient \dfrac{1}{4}.

Donc le taux d'accroissement de f en 4 admet pour limite \dfrac{1}{4}.

Donc f est dérivable en 4 et f'\left(4\right)=\dfrac{1}{4} .

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\sqrt{x}

f est-elle dérivable en 0 ?

Donc f n'est pas dérivable en 0.

Donc f est dérivable en 0 et f'\left(0\right)=0.

Pour étudier la dérivabilité de f en 0, il faut déterminer la limite de son taux d'accroissement en 0.

Etape 1

Calcul du taux d'accroissement

T_0\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}

T_0\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}

T_0\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}

T_0\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\times\sqrt{x}}

T_0\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}

Etape 2

Détermination de la limite

Or lorsque l'on remplace x par 0 dans le taux d'accroissement, on obtient une valeur impossible (on ne peut pas diviser un nombre par 0).

Donc le taux d'accroissement de f en 0 n'admet pas de limite finie.

Donc f n'est pas dérivable en 0.