Etudier le signe de la fonction dérivée Méthode

Sommaire

Méthode 1Si f'\left(x\right)=ax+b 1Résoudre f'\left(x\right)>0 2ConclureMéthode 2Si f'\left(x\right)=ax^2+bx+c 1Calculer le discriminant \Delta 2Etudier le signe du trinôme 3ConclureMéthode 3Si f'\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\right)^n 1Résoudre f'\left(x\right)>0 2ConclureMéthode 4Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple 1Factoriser f'\left(x\right) 2Etudier le signe de chaque facteur 3Dresser le tableau de signes de f'\left(x\right)
Méthode 1

Si f'\left(x\right)=ax+b

Si f'\left(x\right)=ax+b, il suffit de résoudre l'inéquation f'\left(x\right) \geq 0 pour pouvoir déterminer le signe de f'.

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2-x.

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Résoudre f'\left(x\right)>0

On a f'\left(x\right)=ax+b.

On résout donc ax +b \gt 0.

On fait attention au signe de a lors de la résolution de l'inéquation. Si a\lt0, le sens de l'inéquation change.

Pour tout réel x :

-2x+3\gt0

\Leftrightarrow-2x\gt-3

\Leftrightarrow x \lt\dfrac{-3}{-2}

\Leftrightarrow x \lt\dfrac{3}{2}

On a \forall x \in\mathbb{R}, f'\left(x\right)= 2-x.

On reconnaît une fonction affine.

Pour tout réel x :

f'\left(x\right) \geq 0

\Leftrightarrow2-x \geq 0

\Leftrightarrow x \leq 2

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-
Méthode 2

Si f'\left(x\right)=ax^2+bx+c

Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant \Delta et les éventuelles racines de f'\left(x\right) afin de déterminer son signe.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = -4x^2+3x+1.

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Calculer le discriminant \Delta

On calcule le discriminant \Delta du trinôme.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = 3^2 -4\left(-4\right)\times 1 =9+16=25

Etape 2

Etudier le signe du trinôme

En fonction du signe de \Delta, plusieurs cas sont possibles :

  • Si \Delta \lt 0 alors le trinôme est toujours du signe de a.
  • Si \Delta = 0 alors le trinôme est toujours du signe de a mais est nul au niveau de la racine.
  • Si \Delta \gt 0 alors le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. Dans ce cas, on calcule également les racines.

Ici, \Delta \gt 0, donc le trinôme est du signe de a sauf entre les racines.

On calcule les racines :

  • x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-5}{-8}= 1
  • x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3+5}{-8}= -\dfrac{1}{4}
Etape 3

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-
Méthode 3

Si f'\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\right)^n

Si la dérivée est une fonction u définie sur un intervalle I élevée à une puissance n, son signe dépend de la parité de n.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3.

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Résoudre f'\left(x\right)>0

  • Si n est pair, alors, \forall x \in I, \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0
  • Si n est impair, l'inéquation \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0 est équivalente à u\left(x\right)\geq 0. On résout donc l'équation u\left(x\right)\geq 0.

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3. 3 est impair.

On résout donc, pour tout réel x :

\left(1-3x\right)^3 \geq 0

\Leftrightarrow 1-3x \geq 0

\Leftrightarrow 3x \leq 1

\Leftrightarrow x\leq \dfrac{1}{3}

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-
Méthode 4

Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple

Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple, il faut factoriser f'\left(x\right) afin de se ramener à un produit ou un quotient de facteurs dont on est capable de déterminer le signe.

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right).

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Factoriser f'\left(x\right)

On repère un facteur commun afin de factoriser l'expression de f'\left(x\right), et de l'exprimer en fonction d'expressions dont on sait déterminer le signe :

  • Une fonction affine
  • Un trinôme du second degré
  • Une fonction élevée à une puissance entière
  • Une expression dont on a déjà déterminée le signe dans des questions précédentes

On factorise l'expression avant d'étudier le signe. x est le facteur commun ici.

On en déduit que, pour tout réel x :

f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right)

f'\left(x\right) = x\left[ 1-\left(2-x^2\right)\right]

f'\left(x\right) = x\left( x^2-1\right)

Etape 2

Etudier le signe de chaque facteur

On étudie le signe des différents facteurs un à un.

On étudie le signe de chacun des facteurs :

  • x \geq 0 sur \mathbb{R}^+
  • x^2-1 \geq0 \Leftrightarrow x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1\; ou\; x \leq -1
Etape 3

Dresser le tableau de signes de f'\left(x\right)

On dresse un tableau de signes de chacun des facteurs de f'\left(x\right) pour en déduire le signe de f'\left(x\right) .

On en déduit le tableau de signes de f'\left(x\right) :

-