Etudier le signe de la fonction dérivéeMéthode

Méthode 1

Si f'\left(x\right)=ax+b

Si f'\left(x\right)=ax+b, il suffit de résoudre l'inéquation f'\left(x\right) \geq 0 pour pouvoir déterminer le signe de f'.

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2-x.

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Résoudre f'\left(x\right)>0

On a f'\left(x\right)=ax+b.

On résout donc ax +b \gt 0.

On fait attention au signe de a lors de la résolution de l'inéquation. Si a\lt0, le sens de l'inéquation change.

Pour tout réel x :

-2x+3\gt0

\Leftrightarrow-2x\gt-3

\Leftrightarrow x \lt\dfrac{-3}{-2}

\Leftrightarrow x \lt\dfrac{3}{2}

On a \forall x \in\mathbb{R}, f'\left(x\right)= 2-x.

On reconnaît une fonction affine.

Pour tout réel x :

f'\left(x\right) \geq 0

\Leftrightarrow2-x \geq 0

\Leftrightarrow x \leq 2

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-
Méthode 2

Si f'\left(x\right)=ax^2+bx+c

Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant \Delta et les éventuelles racines de f'\left(x\right) afin de déterminer son signe.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = -4x^2+3x+1.

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Calculer le discriminant \Delta

On calcule le discriminant \Delta du trinôme.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = 3^2 -4\left(-4\right)\times 1 =9+16=25

Etape 2

Etudier le signe du trinôme

En fonction du signe de \Delta, plusieurs cas sont possibles :

  • Si \Delta \lt 0 alors le trinôme est toujours du signe de a.
  • Si \Delta = 0 alors le trinôme est toujours du signe de a mais est nul au niveau de la racine.
  • Si \Delta \gt 0 alors le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. Dans ce cas, on calcule également les racines.

Ici, \Delta \gt 0, donc le trinôme est du signe de a sauf entre les racines.

On calcule les racines :

  • x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-5}{-8}= 1
  • x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3+5}{-8}= -\dfrac{1}{4}
Etape 3

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-
Méthode 3

Si f'\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\right)^n

Si la dérivée est une fonction u définie sur un intervalle I élevée à une puissance n, son signe dépend de la parité de n.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3.

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Résoudre f'\left(x\right)>0

  • Si n est pair, alors, \forall x \in I, \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0
  • Si n est impair, l'inéquation \left(u\left(x\right)\right) ^n \geq 0 est équivalente à u\left(x\right)\geq 0. On résout donc l'équation u\left(x\right)\geq 0.

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\left(1-3x\right)^3. 3 est impair.

On résout donc, pour tout réel x :

\left(1-3x\right)^3 \geq 0

\Leftrightarrow 1-3x \geq 0

\Leftrightarrow 3x \leq 1

\Leftrightarrow x\leq \dfrac{1}{3}

Etape 2

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f' est positive et négative.

On obtient le signe de f'\left(x\right) :

-
Méthode 4

Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple

Si f'\left(x\right) n'est pas une expression simple, il faut factoriser f'\left(x\right) afin de se ramener à un produit ou un quotient de facteurs dont on est capable de déterminer le signe.

On considère une fonction f définie sur \mathbb{R} par \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right).

Etudier le signe de f'\left(x\right) sur \mathbb{R}.

Etape 1

Factoriser f'\left(x\right)

On repère un facteur commun afin de factoriser l'expression de f'\left(x\right), et de l'exprimer en fonction d'expressions dont on sait déterminer le signe :

  • Une fonction affine
  • Un trinôme du second degré
  • Une fonction élevée à une puissance entière
  • Une expression dont on a déjà déterminée le signe dans des questions précédentes

On factorise l'expression avant d'étudier le signe. x est le facteur commun ici.

On en déduit que, pour tout réel x :

f'\left(x\right) =x-x\left(2-x^2\right)

f'\left(x\right) = x\left[ 1-\left(2-x^2\right)\right]

f'\left(x\right) = x\left( x^2-1\right)

Etape 2

Etudier le signe de chaque facteur

On étudie le signe des différents facteurs un à un.

On étudie le signe de chacun des facteurs :

  • x \geq 0 sur \mathbb{R}^+
  • x^2-1 \geq0 \Leftrightarrow x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1\; ou\; x \leq -1
Etape 3

Dresser le tableau de signes de f'\left(x\right)

On dresse un tableau de signes de chacun des facteurs de f'\left(x\right) pour en déduire le signe de f'\left(x\right) .

On en déduit le tableau de signes de f'\left(x\right) :

-

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule