Donner une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction dérivableMéthode

On sait déterminer par le calcul une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction en un point d'abscisse donné.

On considère la fonction f définie pour tout x \in\mathbb{R} par :

f\left(x\right) = 2x^2+x

On appelle C_f sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x=1.

Etape 1

Réciter la formule

On énonce l'équation de la tangente : si f est une fonction dérivable en a, la tangente à C_f au point d'abscisse a a pour équation :

y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et par conséquent en 1. La tangente T_1 à Cf au point d'abscisse x =1 a pour équation :

y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)

Etape 2

Calculer f\left(a\right)

On calcule la valeur de f\left(a\right) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = 2x^2+x

Donc f\left(1\right) = 2\times 1^2 + 1 = 3

Etape 3

Calculer f'\left(a\right)

Deux cas peuvent se présenter :

Cas 1

Une expression de f'\left(x\right) est connue

On calcule la valeur de f'\left(a\right) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Cas 2

Aucune expression de f'\left(x\right) n'est connue

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

On calcule ensuite la valeur de f'\left(a\right) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Ici, aucune expression de f'\left(x\right) n'est connue. On détermine donc une expression de f'\left(x\right) :

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)= 2x^2+x

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 4x+1

Ainsi :

f'\left(1\right)= 4\times 1+1= 5

Etape 4

Conclure

On remplace, dans l'équation précédente de la tangente, f'\left(a\right) et f\left(a\right) par leurs valeurs respectives. On simplifie ensuite l'expression.

On obtient une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

On sait que la tangente a pour équation :

y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right) avec f\left(1 \right) = 3 et f'\left(1\right)= 5.

On en déduit que T_1 admet pour équation :

T_1:y =5\left(x-1\right)+3

T_1:y =5x-5+3

T_1:y =5x-2