Etudier la position de la courbe par rapport à une tangente Méthode

Sommaire

1Déterminer une équation de la tangente 2Réciter le cours 3Calculer et simplifier f\left(x\right)-\left(ax+b\right) 4Etudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right) 5Conclure

Pour étudier la position de la courbe par rapport à une tangente T d'équation y=ax+b, on détermine le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right).

On considère la fonction f définie pour tout x\in \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = x^2

On appelle C_f sa courbe représentative et T celle de sa tangente au point d'abscisse x= 0,5.

Etudier la position relative de C_f et de T.

Etape 1

Déterminer une équation de la tangente

Si f est dérivable en a, la tangente T_a à C_f au point d'abscisse a a pour équation :

y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)

On calcule les valeurs de f'\left(a\right) et de f\left(a\right) afin de déterminer une équation de T_a .

La fonction carré est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en 0,5. La tangente T à C_f au point d'abscisse x=0,5 a pour équation :

y=f'\left(0,5\right)\left(x-0,5\right)+f\left(0,5\right)

On calcule les valeurs de f'\left(0,5\right) et de f\left(0,5\right) :

  • \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2x donc f'\left(0,5\right) = 2\times 0,5 = 1
  • \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2 donc f\left(0,5\right) = 0,5^2 = 0,25

On en déduit que T admet pour équation :

y=1\left(x-0,5\right)+0,25

Finalement, T admet pour équation :

y=x-0,25

Etape 2

Réciter le cours

Afin d'étudier la position relative de C_f et de T d'équation y=ax+b sur un intervalle I, il faut étudier le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right) sur I.

Afin d'étudier la position relative de Cf et de T sur \mathbb{R}, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-0,25\right) sur \mathbb{R}.

Etape 3

Calculer et simplifier f\left(x\right)-\left(ax+b\right)

On calcule f\left(x\right)-\left(ax+b\right) et on simplifie son expression afin d'obtenir une forme dont on sait déterminer le signe.

Pour tout réel x :

f\left(x\right) - \left(x-0,25\right) = x^2 - \left(x-0,25\right)

Ainsi, pour tout réel x :

f\left(x\right) - \left(x-0,25\right) = x^2 - x+0,25

Etape 4

Etudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right)

On détermine le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right). Sauf si le résultat est très simple, on récapitule le résultat dans un tableau de signes.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^2-4ac= \left(-1\right)^2 -4\times 1 \times 0,25 =1-1 = 0

\Delta = 0 donc le trinôme est du signe de a (positif) sur \mathbb{R} et nul au niveau de la racine.

On détermine l'unique racine :

  • x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{1}{2\times1}= \dfrac{1}{2}

On en déduit que :

  • f\left(x\right) -\left(x-0,25\right) \gt 0 sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}
  • f\left(x\right) -\left(x-0,25\right) =0 pour x = \dfrac{1}{2}
Etape 5

Conclure

On distingue 3 cas :

  • f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0 sur I, alors C_f est au-dessus de T sur I.
  • f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0 sur I, alors C_f est en dessous de T sur I.
  • f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0, alors C_f et T sont sécantes au(x) point(s) d'abscisse(s) la (ou les) solution(s) de l'équation.

Ainsi :

  • C_f est au-dessus de T sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}
  • C_f et T sont sécantes au point d'abscisse x = \dfrac{1}{2}