Soit la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=x^3+3x^2-24x-1
Quel est le minimum de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}, et par conséquent aussi sur \left[ 0;+\infty \right[.
Pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[, on a :
f'\left(x\right)=3x^2+6x-24
f' est une fonction trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times3\times\left(-24\right)=36+288=324
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son coefficient de degré 2 (positif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6-\sqrt{324}}{2\times3}=\dfrac{-6-18}{6}=\dfrac{-24}{6}=-4
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6+\sqrt{324}}{2\times3}=\dfrac{-6+18}{6}=\dfrac{12}{6}=2
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination du minimum
On remarque que le minimum est atteint pour x=2.
f\left(2\right)=2^3+3\times2^2-24\times2-1=8+12-48-1=-29
La fonction f admet un minimum sur \left[ 0;+\infty\right[ qui vaut -29 et qui est atteint pour x=2.
Soit la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=-2x^3+3x^2+36x-5
Quel est le maximum de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}, et par conséquent aussi sur \left[ 0;+\infty \right[.
Pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[, on a :
f'\left(x\right)=-6x^2+6x+36
f'\left(x\right)=6\left(-x^2+x+6\right)
6\gt0 donc f'\left(x\right) à la même signe que -x^2+x+6
-x^2+x+6 est un trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-1\right)\times6=1+24=25
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son coefficient de degré 2 (négatif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-1-5}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-1+5}{-2}=\dfrac{4}{-2}=-2
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination du maximum
On remarque que le maximum est atteint pour x=3.
f\left(3\right)=-2\times3^3+3\times3^2+36\times3-5=-54+27+108-5=76
La fonction f admet un maximum sur \left[ 0;+\infty\right[ qui vaut 76 et qui est atteint pour x=3.
Soit la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=-x^3+x^2+x+4
Quel est le maximum de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}, et par conséquent aussi sur \left[ 0;+\infty \right[.
Pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[, on a :
f'\left(x\right)=-3x^2+2x+1
f' est une fonction trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times\left(-3\right)\times1=4+12=16
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son coefficient de degré 2 (négatif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-2-4}{-6}=\dfrac{-6}{-6}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-2+4}{-6}=\dfrac{2}{-6}=-\dfrac{1}{3}
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination du maximum
On remarque que le maximum est atteint pour x=1.
f\left(1\right)=-1^3+1^2+1+4=-1+1+1+4=5
La fonction f admet un maximum sur \left[ 0;+\infty\right[ qui vaut 5 et qui est atteint pour x=1.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3+6x^2-15x+1
Quels sont les extremums locaux de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3x^2+12x-15
f'\left(x\right)=3\left(x^2+4x-5\right)
3\gt0, donc f'\left(x\right) à le même signe que x^2+4x-5
x^2+4x-5 est un trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\times1\times\left(-5\right)=16+20=36
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son coefficient de degré 2 (positif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{2\times1}=\dfrac{-4-6}{2}=\dfrac{-10}{2}=-5
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{2\times1}=\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination des extremums
On remarque qu'un maximum local est atteint pour x=-5.
f\left(-5\right)=\left(-5\right)^3+6\times\left(-5\right)^2-15\times\left(-5\right)+1=-125+150+75+1=101
On remarque qu'un minimum local est atteint pour x=1.
f\left(1\right)=1^3+6\times1^2-15\times1+1=1+6-15+1=-7
La fonction f admet un maximum local qui vaut 101 et qui est atteint pour x=-5.
La fonction f admet un minimum local qui vaut -7 et qui est atteint pour x=1.
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3-2x^2+x+3
Quels sont les extremums locaux de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=3x^2-4x+1
f' est une fonction trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\times3\times1=16-12=4
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son coefficient de degré 2 (positif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2\times3}=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2\times3}=\dfrac{4+2}{6}=\dfrac{6}{6}=1
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination des extremums
On remarque qu'un maximum local est atteint pour x=\dfrac{1}{3}.
f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3-2\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{1}{27}-\dfrac{6}{27}+\dfrac{9}{27}+\dfrac{81}{27}=\dfrac{85}{27}
On remarque qu'un minimum local est atteint pour x=1.
f\left(1\right)=1^3-2\times1^2+1+3=1-2+1+3=3
La fonction f admet un maximum local qui vaut \dfrac{85}{27} et qui est atteint pour x=\dfrac{1}{3}.
La fonction f admet un minimum local qui vaut 3 et qui est atteint pour x=1.
Soit la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=\dfrac{-2x^2-7x-5}{2x+1}
Quel est le maximum de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes), donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
On constate que : f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[ :
- u\left(x\right)=-2x^2-7x-5
- v\left(x\right)=2x+1
Donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[ :
- u'\left(x\right)=-4x-7
- v'\left(x\right)=2
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[ on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(-4x-7\right)\left(2x+1\right)-\left(-2x^2-7x-5\right)\times2}{\left(2x+1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-8x^2-4x-14x-7+4x^2+14x+10}{\left(2x+1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-4x^2-4x+3}{\left(2x+1\right)^2}
\left(2x+1\right)^2\gt0 pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[ parce qu'il s'agit d'un carré qui ne s'annule pas sur x\in\left[ 0;+\infty \right[.
Ainsi, f'\left(x\right) a le même signe que -4x^2-4x+3.
-4x^2-4x+3 est un trinôme du second degré. Pour étudier son signe, on peut calculer son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\times\left(-4\right)\times3=16+48=64
\Delta\gt0, donc le trinôme est du signe de son coefficient de degré 2 (négatif) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire à l'intérieur.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{4-8}{-8}=\dfrac{-4}{-8}=\dfrac{1}{2}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{4+8}{-8}=\dfrac{12}{-8}=-\dfrac{3}{2}
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination du maximum
On remarque que le maximum est atteint pour x=\dfrac{1}{2}.
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-7\times\dfrac{1}{2}-5}{2\times\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}-5}{2}=\dfrac{-4-5}{2}=-\dfrac{9}{2}
La fonction f admet un maximum sur \left[ 0;+\infty \right[ qui vaut -\dfrac{9}{2} et qui est atteint pour x=\dfrac{1}{2}.
Soit la fonction f définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=-x^3+12x+5
Quel est le maximum de cette fonction sur son intervalle de définition ?
Etude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}, et par conséquent aussi sur \left[ 0;+\infty \right[.
Pour tout x\in\left[ 0;+\infty \right[, on a :
f'\left(x\right)=-3x^2+12
f'\left(x\right)=-3\left(x^2-4\right)
On remarque que :
x^2-4=0\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow x=2 \text{ ou }x=-2
Ainsi le trinôme x^2-4 est du signe de son terme de degré 2 (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire à l'intérieur.
On obtient le tableau suivant :
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative. On obtient le tableau de variations de f :
Détermination du maximum
On remarque que le maximum est atteint pour x=2.
f\left(2\right)=-2^3+12\times2+5=-8+24+5=21
La fonction f admet un maximum sur \left[ 0;+\infty\right[ qui vaut 21 et qui est atteint pour x=2.