La dérivationCours

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a + h le quotient :

\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}

En posant x = a + h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'\left(a\right) :

\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1.

Son taux d'accroissement en 1, obtenu avec la deuxième expression, est égal à :

\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1

Or :

\lim\limits_{x \to 1} \left(x+1\right) = 2

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f'\left(1\right) = 2.

"Une limite finie l quand h tend vers 0" signifie "devient aussi proche que l'on veut d'un réel l lorsque h est suffisamment proche de 0".

B

La tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point

Tangente

Soit un réel a de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(a ; f\left(a\right)\right), de coefficient directeur f'\left(a\right), dont une équation est :

y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)

-

Sachant que la fonction g définie par g\left(x\right)=x^2+1, est dérivable en 1, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

y = g'\left(1\right)\left(x-1\right) + g\left(1\right)

Or, on sait que :

  • g'\left(1\right) = 2 (voir exemple du I. A.)
  • g\left(1\right)=1^2+1=2

Une équation de la tangente cherchée est donc :

y = 2\left(x-1\right) + 2

y = 2x - 2 + 2

y = 2x

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f' qui, à tout réel x de I, associe f'\left(x\right).

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.

f\left(x\right) f'\left(x\right) D_{f} D_{f'}
\lambda 0 \mathbb{R} \mathbb{R}
x 1 \mathbb{R} \mathbb{R}
x^{n} (n \geq 1) nx^{n-1} \mathbb{R} \mathbb{R}
\dfrac{1}{x^n} (n \geq 1) -\dfrac{n}{x^{n+1}} \mathbb{R}^{*} \mathbb{R}^{*}
\sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \mathbb{R}^{+} \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}}
C

Les opérations sur les dérivées

Soient \lambda un réel, u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

f f'
\lambda u \lambda u'
u + v u' + v'
uv u'v + uv'
\dfrac{1}{v}
(si v ne s'annule pas sur I )
-\dfrac{v'}{v^2}
\dfrac{u}{v}
(si v ne s'annule pas sur I )
\dfrac{u'v–uv'}{v^2}

Les fonctions polynômes sont dérivables sur \mathbb{R}.

Si f est une fonction polynôme d'expression f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0, alors sa dérivée, f', admet pour expression :

f'\left(x\right)=na_nx^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=6x^4-3x^2+5x-2.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée f' a pour expression :

f'\left(x\right)=6\times 4x^3-3\times 2x+5\times 1+0

f'\left(x\right)=24x^3-6x+5

On considère la fonction f définie sur I=\left]1;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x-1}.

La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec u\left(x\right)=x+2 et v\left(x\right)=x-1.

Comme restrictions de fonctions affines à l'intervalle I, les fonctions u et v sont dérivables sur I, et pour tout réel x\in I, u'\left(x\right)=1 et v'\left(x\right)=1.

De plus, la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I.

Par quotient, la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.

Ainsi, pour tout réel x\in I, on a :

f'\left(x\right)=\dfrac{1\times \left(x-1\right)-\left(x+2\right)\times 1}{\left(x-1\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)-\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{x-1-x-2}{\left(x-1\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}

III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Signe de la dérivée et variations de la fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=5x^2-6x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6.

La dérivée s'annule pour x=\dfrac35.

Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right], 10x-6\leq0 donc f est décroissante sur \left]-\infty;\dfrac35 \right].

Pour tout x\in\left[\dfrac35 ;+\infty\right[, 10x-6\geq0 donc f est croissante sur \left[\dfrac35 ;+\infty\right[.

Signe de la dérivée et stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=5x^2-6x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6.

La dérivée s'annule pour x=\dfrac35.

Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right[, 10x-6\lt0 donc f est strictement décroissante sur \left]-\infty;\dfrac35 \right].

Pour tout x\in\left]\dfrac35 ;+\infty\right[, 10x-6\gt0 donc f est strictement croissante sur \left[\dfrac35 ;+\infty\right[.

B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 et f^{'} change de signe en a.
  • Réciproquement, si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.

Si f' s'annule en a et passe d'un signe négatif avant a à un signe positif après a, l'extremum local est un minimum local.

Si f' s'annule en a et passe d'un signe positif avant a à un signe négatif après a, l'extremum local est un maximum local.

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=5x^2-6x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6.

La dérivée s'annule pour x=\dfrac35.

Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right], 10x-6\leq0, pour tout x\in\left[\dfrac35 ;+\infty\right[, 10x-6\geq0. Donc la dérivée s'annule et change de signe en x=\dfrac35. La fonction f admet, par conséquent, un extremum local en \dfrac35.

Comme la dérivée de f passe d'un signe négatif à un signe positif en x=\dfrac35, cet extremum est un minimum local.

f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

-