La dérivation Cours

Sommaire

ILe nombre dérivéALe taux d'accroissementBLa tangente à la courbe représentative d'une fonction en un pointIILa fonction dérivéeALa dérivée sur un intervalleBLes dérivées des fonctions usuellesCLes opérations sur les dérivéesIIILes applications de la dérivationALe sens de variation d'une fonctionBLes extremums locaux d'une fonction
I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a + h le quotient :

\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}

En posant x = a + h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'\left(a\right) :

\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1.

Son taux d'accroissement en 1, obtenu avec la deuxième expression, est égal à :

\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1

Or :

\lim\limits_{x \to 1} \left(x+1\right) = 2

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f'\left(1\right) = 2.

"Une limite finie l quand h tend vers 0" signifie "devient aussi proche que l'on veut d'un réel l lorsque h est suffisamment proche de 0".

B

La tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point

Tangente

Soit un réel a de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(a ; f\left(a\right)\right), de coefficient directeur f'\left(a\right), dont une équation est :

y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)

-

Sachant que la fonction g définie par g\left(x\right)=x^2+1, est dérivable en 1, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

y = g'\left(1\right)\left(x-1\right) + g\left(1\right)

Or, on sait que :

  • g'\left(1\right) = 2 (voir exemple du I. A.)
  • g\left(1\right)=1^2+1=2

Une équation de la tangente cherchée est donc :

y = 2\left(x-1\right) + 2

y = 2x - 2 + 2

y = 2x

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f' qui, à tout réel x de I, associe f'\left(x\right).

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.

f\left(x\right) f'\left(x\right) D_{f} D_{f'}
\lambda 0 \mathbb{R} \mathbb{R}
x 1 \mathbb{R} \mathbb{R}
x^{n} (n \geq 1) nx^{n-1} \mathbb{R} \mathbb{R}
\dfrac{1}{x^n} (n \geq 1) -\dfrac{n}{x^{n+1}} \mathbb{R}^{*} \mathbb{R}^{*}
\sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \mathbb{R}^{+} \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}}
C

Les opérations sur les dérivées

Soient \lambda un réel, u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

f f'
\lambda u \lambda u'
u + v u' + v'
uv u'v + uv'
\dfrac{1}{v}
(si v ne s'annule pas sur I )
-\dfrac{v'}{v^2}
\dfrac{u}{v}
(si v ne s'annule pas sur I )
\dfrac{u'v–uv'}{v^2}

Les fonctions polynômes sont dérivables sur \mathbb{R}.

Si f est une fonction polynôme d'expression f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0, alors sa dérivée, f', admet pour expression :

f'\left(x\right)=na_nx^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=6x^4-3x^2+5x-2.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée f' a pour expression :

f'\left(x\right)=6\times 4x^3-3\times 2x+5\times 1+0

f'\left(x\right)=24x^3-6x+5

On considère la fonction f définie sur I=\left]1;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x-1}.

La fonction f est de la forme \dfrac{u}{v} avec u\left(x\right)=x+2 et v\left(x\right)=x-1.

Comme restrictions de fonctions affines à l'intervalle I, les fonctions u et v sont dérivables sur I, et pour tout réel x\in I, u'\left(x\right)=1 et v'\left(x\right)=1.

De plus, la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I.

Par quotient, la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, et f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.

Ainsi, pour tout réel x\in I, on a :

f'\left(x\right)=\dfrac{1\times \left(x-1\right)-\left(x+2\right)\times 1}{\left(x-1\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)-\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{x-1-x-2}{\left(x-1\right)^2}

f'\left(x\right)=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}

III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Signe de la dérivée et variations de la fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=5x^2-6x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6.

La dérivée s'annule pour x=\dfrac35.

Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right], 10x-6\leq0 donc f est décroissante sur \left]-\infty;\dfrac35 \right].

Pour tout x\in\left[\dfrac35 ;+\infty\right[, 10x-6\geq0 donc f est croissante sur \left[\dfrac35 ;+\infty\right[.

Signe de la dérivée et stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=5x^2-6x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6.

La dérivée s'annule pour x=\dfrac35.

Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right[, 10x-6\lt0 donc f est strictement décroissante sur \left]-\infty;\dfrac35 \right].

Pour tout x\in\left]\dfrac35 ;+\infty\right[, 10x-6\gt0 donc f est strictement croissante sur \left[\dfrac35 ;+\infty\right[.

B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 et f^{'} change de signe en a.
  • Réciproquement, si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.

Si f' s'annule en a et passe d'un signe négatif avant a à un signe positif après a, l'extremum local est un minimum local.

Si f' s'annule en a et passe d'un signe positif avant a à un signe négatif après a, l'extremum local est un maximum local.

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=5x^2-6x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6.

La dérivée s'annule pour x=\dfrac35.

Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right], 10x-6\leq0, pour tout x\in\left[\dfrac35 ;+\infty\right[, 10x-6\geq0. Donc la dérivée s'annule et change de signe en x=\dfrac35. La fonction f admet, par conséquent, un extremum local en \dfrac35.

Comme la dérivée de f passe d'un signe négatif à un signe positif en x=\dfrac35, cet extremum est un minimum local.

f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

-