Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3}\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{\left(2x^2-5x+1\right)\left(3x-4\right)}{3x-1}.
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes) donc dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}.
On a f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} :
- u\left(x\right)=\left(2x^2-5x+1\right)\left(3x-4\right)
- v\left(x\right)=3x-1
Ainsi f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=u_1\times v_1 avec :
- u_1\left(x\right)=2x^2-5x+1
- v_1\left(x\right)=3x-4
Ainsi u'=u_1'v_1+u_1v_1' avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} :
- u_1'\left(x\right)=4x-5
- v_1'\left(x\right)=3
Donc pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}, on a :
u'\left(x\right)=\left(4x-5\right)\left(3x-4\right)+\left(2x^2-5x+1\right)\times3
u'\left(x\right)=12x^2-16x-15x+20+6x^2-15x+3
u'\left(x\right)=18x^2-46x+23
Calcul de f'\left(x\right)
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} :
- u'\left(x\right)=18x^2-46x+23
- v'\left(x\right)=3
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\} :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(18x^2-46x+23\right)\left(3x-1\right)-\left(2x^2-5x+1\right)\left(3x-4\right)\times3}{\left(3x-1\right)^2}
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{\left(18x^2-46x+23\right)\left(3x-1\right)-\left(2x^2-5x+1\right)\left(3x-4\right)\times3}{\left(3x-1\right)^2}
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -3\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{\left(-4x+1\right)\left(-3x^2+x+3\right)}{2x+6}.
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes) donc dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi f est dérivable sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\}.
On a f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\} :
- u\left(x\right)=\left(-4x+1\right)\left(-3x^2+x+3\right)
- v\left(x\right)=2x+6
Ainsi f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=u_1\times v_1 avec :
- u_1\left(x\right)=-4x+1
- v_1\left(x\right)=-3x^2+x+3
Ainsi u'=u_1'v_1+u_1v_1' avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\} :
- u_1'\left(x\right)=-4
- v_1'\left(x\right)=-6x+1
Donc pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\}, on a :
u'\left(x\right)=-4\left(-3x^2+x+3\right)+\left(-4x+1\right)\left(-6x+1\right)
u'\left(x\right)=12x^2-4x-12+24x^2-10x+1
u'\left(x\right)=36x^2-14x-11
Calcul de f'\left(x\right)
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\} :
- u'\left(x\right)=36x^2-14x-11
- v'\left(x\right)=2
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\} :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(36x^2-14x-11\right)\left(2x+6\right)-\left(-4x+1\right)\left(-3x^2+x+3\right)\times2}{\left(2x+6\right)^2}
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -3 \right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{\left(36x^2-14x-11\right)\left(2x+6\right)-\left(-4x+1\right)\left(-3x^2+x+3\right)\times2}{\left(2x+6\right)^2}
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(-2x^2+5x+2\right)\left(-3x+4\right)\left(3x^2+x+3\right).
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
La fonction f est une fonction polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.
On a f=u\times v avec pour tout x appartenant à \mathbb{R} :
- u\left(x\right)=\left(-2x^2+5x+2\right)\left(-3x+4\right)
- v\left(x\right)=3x^2+x+3
Ainsi f'=u'v+uv'.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=u_1\times v_1 avec :
- u_1\left(x\right)=-2x^2+5x+2
- v_1\left(x\right)=-3x+4
Ainsi u'=u_1'v_1+u_1v_1' avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u_1'\left(x\right)=-4x+5
- v_1'\left(x\right)=-3
Donc pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
u'\left(x\right)=\left(-4x+5\right)\left(-3x+4\right)+\left(-2x^2+5x+2\right)\times\left(-3\right)
u'\left(x\right)=12x^2-16x-15x+20+6x^2-15x-6
u'\left(x\right)=18x^2-46x+14
Calcul de f'\left(x\right)
f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u'\left(x\right)=18x^2-46x+14
- v'\left(x\right)=6x+1
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R} :
f'\left(x\right)=\left(18x^2-46x+14\right)\left(3x^2+x+3\right)+\left(-2x^2+5x+2\right)\left(-3x+4\right)\left(6x+1\right)
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=\left(18x^2-46x+14\right)\left(3x^2+x+3\right)+\left(-2x^2+5x+2\right)\left(-3x+4\right)\left(6x+1\right)
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\dfrac{2x-1}{3x+3}\sqrt{x}.
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
On a f=u\times v avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}_+ :
- u\left(x\right)=\dfrac{2x-1}{3x+3}
- v\left(x\right)=\sqrt{x}
La fonction u est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes) donc elle est dérivable sur son ensemble de définition. Elle est définie si son dénominateur ne s'annule pas. Ainsi D_u=\mathbb{R}\backslash\left\{ -1 \right\}.
La fonction v est la fonction racine carrée donc elle est dérivable sur \left]0;+\infty \right[.
Ainsi, comme produit de fonctions f est dérivable sur \left]0;+\infty \right[.
De plus, f'=u'v+uv'.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=\dfrac{u_1}{v_1} avec :
- u_1\left(x\right)=2x-1
- v_1\left(x\right)=3x+3
Ainsi u'=\dfrac{u_1'v_1-u_1v_1'}{v_1^2} avec pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
- u_1'\left(x\right)=2
- v_1'\left(x\right)=3
Donc pour tout x\in\left]0;+\infty \right[, on a :
u'\left(x\right)=\dfrac{2\left(3x+3\right)-\left(2x-1\right)\times3}{\left(3x+3\right)^2}
u'\left(x\right)=\dfrac{6x+6-6x+3}{\left(3x+3\right)^2}
u'\left(x\right)=\dfrac{9}{\left(3x+3\right)^2}
Calcul de f'\left(x\right)
f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
- u'\left(x\right)=\dfrac{9}{\left(3x+3\right)^2}
- v'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi, pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
f'\left(x\right)=\dfrac{9}{\left(3x+3\right)^2}\sqrt{x}+\dfrac{2x+1}{3x+3}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi pour tout x\in\left]0;+\infty \right[, f'\left(x\right)=\dfrac{9}{\left(3x+3\right)^2}\sqrt{x}+\dfrac{2x-1}{3x+3}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(5x+9\right)\left(2x^2-3x+1\right)\left(-4x^2+2x+1\right).
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
La fonction f est une fonction polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.
On a f=u\times v avec pour tout x appartenant à \mathbb{R} :
- u\left(x\right)=\left(5x+9\right)\left(2x^2-3x+1\right)
- v\left(x\right)=-4x^2+2x+1
Ainsi f'=u'v+uv'.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=u_1\times v_1 avec :
- u_1\left(x\right)=5x+9
- v_1\left(x\right)=2x^2-3x+1
Ainsi u'=u_1'v_1+u_1v_1' avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u_1'\left(x\right)=5
- v_1'\left(x\right)=4x-3
Donc pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
u'\left(x\right)=5\left(2x^2-3x+1\right)+\left(5x+9\right)\left(4x-3\right)
u'\left(x\right)=10x^2-15x+5+20x^2-15x+36x-27
u'\left(x\right)=30x^2+6x-22
Calcul de f'\left(x\right)
f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\mathbb{R} :
- u'\left(x\right)=30x^2+6x-22
- v'\left(x\right)=-8x+2
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R} :
f'\left(x\right)=\left(30x^2+6x-22\right)\left(-4x^2+2x+1\right)+\left(5x+9\right)\left(2x^2-3x+1\right)\left(-8x+2\right)
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=\left(30x^2+6x-22\right)\left(-4x^2+2x+1\right)+\left(5x+9\right)\left(2x^2-3x+1\right)\left(-8x+2\right)
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\dfrac{-4x+5}{5x+2}\sqrt{x}.
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
On a f=u\times v avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}_+ :
- u\left(x\right)=\dfrac{-4x+5}{5x+2}
- v\left(x\right)=\sqrt{x}
La fonction u est une fonction rationnelle (quotient de fonctions polynômes) donc elle est dérivable sur son ensemble de définition. Elle est définie si son dénominateur ne s'annule pas. Ainsi D_u=\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{2}{5} \right\}.
La fonction v est la fonction racine carrée donc elle est dérivable sur \left]0;+\infty \right[.
Ainsi, comme produit de fonctions, f est dérivable sur \left]0;+\infty \right[.
De plus, f'=u'v+uv'.
Calcul de u'\left(x\right)
On a u=\dfrac{u_1}{v_1} avec :
- u_1\left(x\right)=-4x+5
- v_1\left(x\right)=5x+2
Ainsi u'=\dfrac{u_1'v_1-u_1v_1'}{v_1^2} avec pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
- u_1'\left(x\right)=-4
- v_1'\left(x\right)=5
Donc pour tout x\in\left]0;+\infty \right[, on a :
u'\left(x\right)=\dfrac{-4\left(5x+2\right)-\left(-4x+5\right)\times5}{\left(5x+2\right)^2}
u'\left(x\right)=\dfrac{-20x-8+20x-25}{\left(5x+2\right)^2}
u'\left(x\right)=\dfrac{-33}{\left(5x+2\right)^2}
Calcul de f'\left(x\right)
f'=u'v+uv' avec pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
- u'\left(x\right)=\dfrac{-33}{\left(5x+2\right)^2}
- v'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi, pour tout x\in\left]0;+\infty \right[ :
f'\left(x\right)=\dfrac{-33}{\left(5x+2\right)^2}\sqrt{x}+\dfrac{-4x+5}{5x+2}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi pour tout x\in\left]0;+\infty \right[, f'\left(x\right)=\dfrac{-33}{\left(5x+2\right)^2}\sqrt{x}+\dfrac{-4x+5}{5x+2}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}_+ par f\left(x\right)=\left(\sqrt{x}-3x\right)\left(2x-3\right).
Dans quelle proposition la fonction f est-elle correctement dérivée ?
La fonction x\longmapsto\sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^*.
Ainsi la fonction f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* en tant que somme et produit de fonction dérivables sur \mathbb{R}_+^*.
On a f=u\times v avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}_+^* :
- u\left(x\right)=\sqrt{x}-3x
- v\left(x\right)=2x-3
Ainsi f'=u'v+uv' avec pour tout x appartenant à \mathbb{R}_+^* :
- u'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-3
- v'\left(x\right)=2
Pour tout x\in\mathbb{R}_+^*, on a :
f'\left(x\right)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-3\right)\left(2x-3\right)+\left(\sqrt{x}-3x\right)\times2
f'\left(x\right)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}-\dfrac{3}{2\sqrt{x}}-6x+9+2\sqrt{x}-6x
f'\left(x\right)=\dfrac{2x-3-12x\sqrt{x}+18\sqrt{x}+4x-12x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
f'\left(x\right)=\dfrac{6x-3-24x\sqrt{x}+18\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
Ainsi pour tout x\in\mathbb{R}_+^*, f'\left(x\right)=\dfrac{6x-3-24x\sqrt{x}+18\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}