Dériver une fonction à l'aide des formules usuellesMéthode

Si la fonction à dériver n'est pas une fonction usuelle, ou une somme de fonctions usuelles, il faut utiliser une formule de dérivation afin de calculer sa fonction dérivée.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}^+ par :

\forall x \in\mathbb{R}^+, f\left(x\right) = \dfrac{x}{1+x^2}

Dériver f.

Etape 1

Justifier la dérivabilité de f

On justifie que f est dérivable et on précise son domaine de dérivabilité. En général, f est dérivable sur un intervalle donné en tant que somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions dérivables sur ce même intervalle, ou en tant que composée de fonctions dérivables.

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^+ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R}^+ dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}^+.

Etape 2

Identifier la ou les formules à utiliser

On exprime f en fonction d'une ou de deux fonctions intermédiaires selon l'une des formules suivantes :

  • f=uv
  • f=\dfrac{u}{v}
  • f=u^n
  • f=\sqrt{u}

On donne alors l'expression de la, ou des fonction(s) intermédiaire(s).

Ici, f = \dfrac{u}{v} avec :

  • \forall x \in \mathbb{R}^+,u\left(x\right) = x
  • \forall x \in \mathbb{R}^+,v\left(x\right) = 1+x^2

Si f= u+v alors f' = u'+v'.

La dérivée de la fonction f, définie pour tout x \in\mathbb{R}^* par f\left(x\right) = x+\dfrac{1}{x} est :

f'\left(x\right) = 1-\dfrac{1}{x^2}, pour tout réel non nul x

Etape 3

Donner la fonction dérivée des fonctions intermédiaires

On dérive, à part, chacune des fonctions intermédiaires.

On a :

\forall x \in \mathbb{R}^+,u\left(x\right) = x donc \forall x \in \mathbb{R}^+,u'\left(x\right) = 1.

De plus, on a :

\forall x \in \mathbb{R}^+,v\left(x\right) =1+x^2 donc \forall x \in \mathbb{R}^+,v'\left(x\right) = 2x.

Etape 4

Réciter la formule du cours

On donne ensuite l'expression de la dérivée de f. Plusieurs cas sont possibles :

  • Si f=uv, alors f'=u'v+uv'
  • Si f=\dfrac{u}{v}, alors f' =\dfrac{ u'v-uv'}{v^2}
  • Si f=u^n, alors f'=n\times u'\times u^{\left(n-1\right)}
  • Si f=\sqrt{u}, alors f'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

Lorsque f se présente sous l'une des formes ci-dessous, il ne faut pas se contenter de remplacer chacune des fonctions intermédiaires u et v par leur dérivée. Les formules d'opérations sur les dérivées sont à respecter.

f=\dfrac{u}{v} donc f'= \dfrac{u'v-uv'}{v^2}.

Etape 5

Appliquer la formule

On remplace les valeurs des fonctions intermédiaires et de leur dérivée dans l'expression de f'\left(x\right).

On simplifie afin d'aboutir à une forme dont on peut facilement déterminer le signe, puisqu'il s'agit généralement de la tâche à effectuer ensuite.

On obtient, pour tout x\in \mathbb{R}^+ :

f'\left(x\right) = \dfrac{1\times \left(1+x^2\right)-x\times 2x}{\left(1+x^2\right)^2}

f'\left(x\right) = \dfrac{1+x^2-2x^2}{\left(1+x^2\right)^2}

Ainsi :

\forall x \in \mathbb{R}^+,f'\left(x\right) = \dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}

Questions fréquentes

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