Rechercher une tangente particulière Méthode

Sommaire

Méthode 1On recherche une tangente passant par un point 1Rappeler la condition 2Poser l'équation 3Exprimer f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a 4Résoudre l'équation 5Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)Méthode 2On cherche une tangente de coefficient directeur donné 1Rappeler la condition 2Poser l'équation 3Calculer f'\left(x\right) 4Résoudre l'équation 5Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)Méthode 3On cherche une tangente parallèle à une droite 1Rappeler la condition 2Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles 3Poser l'équation 4Calculer f'\left(x\right) 5Résoudre l'équation 6Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)
Méthode 1

On recherche une tangente passant par un point

Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :

y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à C_f qui passe(nt) par le point B\left(x_B;y_B\right), on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a passe par B.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2

On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangentes à C_f passant par le point B\left(2;3\right).

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente passant par B\left(x_B;y_B\right) revient à rechercher le (ou les) point(s) d'abscisse(s) a au(x)quel(s) la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente T_a passe par le point B\left(x_B;y_B\right).

On cherche le (ou les) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a passe par le point B\left(2;3\right).

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, une équation de la tangente T_a est :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)

Comme la tangente passe par le point B\left(x_B;y_B\right), les coordonnées de B vérifient l'équation de T_a, on a donc :

y_B = f'\left(a\right) \left(x_B-a\right)+f\left(a\right)

f étant la fonction carré, elle est dérivable sur \mathbb{R}. Ici, la tangente T_a passant par B\left(2;3\right) nous donne l'équation :

3 = f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)

Etape 3

Exprimer f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a

On exprime f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a.

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2x

On en déduit que :

  • f\left(a\right)= a^2
  • f'\left(a\right)= 2a
Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation obtenue en sachant que a est l'inconnue.

L'équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions.

L'équation à résoudre devient ainsi :

3 = 2a\left(2-a\right)+a^2

4a-2a^2+a^2-3=0

-a^2+ 4a-3=0

L'équation obtenue est une équation du second degré du type \alpha x^2+\beta x+\gamma=0.

Afin de déterminer ses racines, on calcule le discriminant \Delta :

\Delta = \beta^2-4\alpha \gamma

\Delta = 4^2 -4 \left(-1\right)\left(-3\right)

\Delta = 4

\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions :

  • a_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4-\sqrt{4}}{-2} = 3
  • a_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4+\sqrt{4}}{-2} = 1
Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut en donnant les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution, de la forme y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right).

L'équation obtenue a deux solutions.

On en déduit qu'il existe deux tangentes à C_f passant par B\left(2;3\right).

La première est la tangente à C_f au point d'abscisse 1. Elle a pour équation :

y= f'\left(1\right) \left(x-1\right) +f\left(1\right)

Soit :

y =2x-1

La deuxième est la tangente à C_f au point d'abscisse 3. Elle a pour équation :

y= f'\left(3\right) \left(x-3\right) +f\left(3\right)

Soit :

y =6x-9

Méthode 2

On cherche une tangente de coefficient directeur donné

Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :

y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)

Lorsque l'on recherche la tangente à C_f de coefficient directeur b, on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a a pour coefficient directeur b.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1

On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf de coefficient directeur égal à 4.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente T_a ait pour coefficient directeur la valeur b donnée.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a ait un coefficient directeur égal à 4.

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, on sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si f'\left(a\right) = b.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en a. Le coefficient directeur de la tangente T_a vaut f'\left(a\right).

Ainsi, T_a a un coefficient directeur égal à 4 si et seulement si f'\left(a\right) = 4.

Etape 3

Calculer f'\left(x\right)

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1

Donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 8x-8

Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation f'\left(a\right) = b.

On résout :

f'\left(a\right)=4

\Leftrightarrow8a-8 = 4

\Leftrightarrow8a = 12

\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}

Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right)

Il existe donc une tangente à C_f de coefficient directeur égal à 4, c'est la tangente au point d'abscisse \dfrac{3}{2}.

Elle admet pour équation :

y = 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) +f\left(\dfrac{3}{2}\right)

Soit :

y = 4x-6 +4\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 -8\left(\dfrac{3}{2}\right) +1

Finalement :

T_{1,5}:y = 4x-8

Méthode 3

On cherche une tangente parallèle à une droite

Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :

y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à C_f parallèle(s) à une droite D, on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a soit parallèle à D.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) =-2 x^2 +4x+3

On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf parallèle(s) à la droite d'équation y = 6x-2.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente parallèle à une droite de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente T_a soit parallèle à la droite D.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a soit parallèle à la droite d'équation y = 6x-2.

Etape 2

Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Il faut donc ici que la (ou les) tangente(s) T_a ai(en)t le même coefficient directeur que D.

Or, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc le(s) point(s) d'abscisse a tel(s) que la tangente Ta ait un coefficient directeur égal à 6.

Etape 3

Poser l'équation

On sait si f est dérivable en a que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :

f'\left(a\right) = b

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}. Donc le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a vaut f'\left(a\right).

Ainsi, la tangente Ta a un coefficient directeur égal à 6 si et seulement si :

f'\left(a\right) = 6

Etape 4

Calculer f'\left(x\right)

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =-2x^2 +4x+3

Donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= -4x+4

Etape 5

Résoudre l'équation

On résout l'équation f'\left(a\right) = b.

On résout donc :

f'\left(a\right)=6

\Leftrightarrow-4a+4=6

\Leftrightarrow-4a = 2

\Leftrightarrow a = -\dfrac{1}{2}

Etape 6

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right) ou, plus simplement, y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)

La seule tangente à Cf de coefficient directeur égal à 6 est la tangente au point d'abscisse -\dfrac{1}{2}.

Elle admet pour équation :

y = 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right) +f\left(-\dfrac{1}{2}\right)

Soit :

y = 6x+3 -2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 +4\left(-\dfrac{1}{2}\right) +3

y = 6x+3,5