Rechercher une tangente particulièreMéthode

Méthode 1

On recherche une tangente passant par un point

Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :

y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à C_f qui passe(nt) par le point B\left(x_B;y_B\right), on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a passe par B.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2

On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangentes à C_f passant par le point B\left(2;3\right).

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente passant par B\left(x_B;y_B\right) revient à rechercher le (ou les) point(s) d'abscisse(s) a au(x)quel(s) la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente T_a passe par le point B\left(x_B;y_B\right).

On cherche le (ou les) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a passe par le point B\left(2;3\right).

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, une équation de la tangente T_a est :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)

Comme la tangente passe par le point B\left(x_B;y_B\right), les coordonnées de B vérifient l'équation de T_a, on a donc :

y_B = f'\left(a\right) \left(x_B-a\right)+f\left(a\right)

f étant la fonction carré, elle est dérivable sur \mathbb{R}. Ici, la tangente T_a passant par B\left(2;3\right) nous donne l'équation :

3 = f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)

Etape 3

Exprimer f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a

On exprime f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a.

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2

Donc \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2x

On en déduit que :

  • f\left(a\right)= a^2
  • f'\left(a\right)= 2a
Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation obtenue en sachant que a est l'inconnue.

L'équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions.

L'équation à résoudre devient ainsi :

3 = 2a\left(2-a\right)+a^2

4a-2a^2+a^2-3=0

-a^2+ 4a-3=0

L'équation obtenue est une équation du second degré du type \alpha x^2+\beta x+\gamma=0.

Afin de déterminer ses racines, on calcule le discriminant \Delta :

\Delta = \beta^2-4\alpha \gamma

\Delta = 4^2 -4 \left(-1\right)\left(-3\right)

\Delta = 4

\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions :

  • a_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4-\sqrt{4}}{-2} = 3
  • a_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4+\sqrt{4}}{-2} = 1
Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut en donnant les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution, de la forme y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right).

L'équation obtenue a deux solutions.

On en déduit qu'il existe deux tangentes à C_f passant par B\left(2;3\right).

La première est la tangente à C_f au point d'abscisse 1. Elle a pour équation :

y= f'\left(1\right) \left(x-1\right) +f\left(1\right)

Soit :

y =2x-1

La deuxième est la tangente à C_f au point d'abscisse 3. Elle a pour équation :

y= f'\left(3\right) \left(x-3\right) +f\left(3\right)

Soit :

y =6x-9

Méthode 2

On cherche une tangente de coefficient directeur donné

Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :

y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)

Lorsque l'on recherche la tangente à C_f de coefficient directeur b, on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a a pour coefficient directeur b.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1

On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf de coefficient directeur égal à 4.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente T_a ait pour coefficient directeur la valeur b donnée.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a ait un coefficient directeur égal à 4.

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, on sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si f'\left(a\right) = b.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en a. Le coefficient directeur de la tangente T_a vaut f'\left(a\right).

Ainsi, T_a a un coefficient directeur égal à 4 si et seulement si f'\left(a\right) = 4.

Etape 3

Calculer f'\left(x\right)

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1

Donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 8x-8

Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation f'\left(a\right) = b.

On résout :

f'\left(a\right)=4

\Leftrightarrow8a-8 = 4

\Leftrightarrow8a = 12

\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}

Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right)

Il existe donc une tangente à C_f de coefficient directeur égal à 4, c'est la tangente au point d'abscisse \dfrac{3}{2}.

Elle admet pour équation :

y = 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) +f\left(\dfrac{3}{2}\right)

Soit :

y = 4x-6 +4\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 -8\left(\dfrac{3}{2}\right) +1

Finalement :

T_{1{,}5}:y = 4x-8

Méthode 3

On cherche une tangente parallèle à une droite

Si f est dérivable en a, une équation de tangente T_a à la courbe C_f au point d'abscisse a est :

y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à C_f parallèle(s) à une droite D, on cherche en réalité à déterminer a tel que T_a soit parallèle à D.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) =-2 x^2 +4x+3

On appelle C_f sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à Cf parallèle(s) à la droite d'équation y = 6x-2.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente parallèle à une droite de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente T_a soit parallèle à la droite D.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente T_a soit parallèle à la droite d'équation y = 6x-2.

Etape 2

Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Il faut donc ici que la (ou les) tangente(s) T_a ai(en)t le même coefficient directeur que D.

Or, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc le(s) point(s) d'abscisse a tel(s) que la tangente Ta ait un coefficient directeur égal à 6.

Etape 3

Poser l'équation

On sait si f est dérivable en a que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :

f'\left(a\right) = b

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}. Donc le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a vaut f'\left(a\right).

Ainsi, la tangente Ta a un coefficient directeur égal à 6 si et seulement si :

f'\left(a\right) = 6

Etape 4

Calculer f'\left(x\right)

On justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =-2x^2 +4x+3

Donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= -4x+4

Etape 5

Résoudre l'équation

On résout l'équation f'\left(a\right) = b.

On résout donc :

f'\left(a\right)=6

\Leftrightarrow-4a+4=6

\Leftrightarrow-4a = 2

\Leftrightarrow a = -\dfrac{1}{2}

Etape 6

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre C_f et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right) ou, plus simplement, y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)

La seule tangente à Cf de coefficient directeur égal à 6 est la tangente au point d'abscisse -\dfrac{1}{2}.

Elle admet pour équation :

y = 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right) +f\left(-\dfrac{1}{2}\right)

Soit :

y = 6x+3 -2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 +4\left(-\dfrac{1}{2}\right) +3

y = 6x+3{,}5