Rechercher un bénéfice maximalProblème

Une usine spécialisée dans la fabrication de moteurs de motos produit entre 0 et 5000 pièces par an.

Le coût total de fabrication de x pièces est donné par la fonction :

C\left(x\right)=\dfrac{1}{15}x^3-25x^2+3\ 000x

Le coût marginal est la dépense effectuée par l'usine pour la fabrication d'une pièce supplémentaire. Il est égal à :

C_M\left(x\right)=C'\left(x\right)

Le prix de vente unitaire P d'une pièce est déterminé en fonction de la demande x en nombre de pièces :

P\left(x\right)=\dfrac{7}{2}x+3\ 900

R\left(x\right) est la recette totale réalisée par la vente de x pièces. La recette marginale est la recette additionnelle engendrée par la vente d'une pièce supplémentaire; elle est égale à :

R_M\left(x\right)=R'\left(x\right)

Quelle est, en fonction de x, la recette réalisée par l'usine pour la vente de x pièces ?

Pour quelles valeurs de x la recette marginale R_M\left(x\right) est-elle égale au coût marginal C_M\left(x\right) ?

Quel est, en fonction de x, le bénéfice de l'usine réalisé pour la vente de x pièces ?

Quelle est la valeur de B'\left(x\right) ?

Quelle proposition montre que le bénéfice est maximum lorsque la recette marginale est égale au coût marginal ?

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