Un agriculteur dispose de 1600 m de grillage avec lesquels il souhaite clôturer deux terrains : un carré de côté x et un rectangle de largeur x et de longueur y.
Quelles sont les dimensions du carré et du rectangle pour que l'aire des terrains clôturés soit maximale ?
Soit A l'aire des deux terrains.
- L'aire du terrain carré est : x^2
- L'aire du terrain rectangle est : xy
Ainsi, on a : A=x^2+xy
Cette expression dépend de deux variables. Pour étudier son maximum, on peut au préalable chercher à se ramener à une expression avec une seule variable.
Exprimer l'aire en fonction de x
On sait que le périmètre total des terrains clôturés est égal à 1600 m.
- Le périmètre du terrain carré est : 4x
- Le périmètre du terrain rectangulaire est : 2x+2y
Ainsi on a :
4x+2x+2y=1\ 600
\Leftrightarrow 6x+2y=1\ 600
\Leftrightarrow 3x+y=800
\Leftrightarrow y=800-3x
Comme x et y représentent des longueurs, on a : x\geqslant0 et y\geqslant0\Leftrightarrow800-3x\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{800}{3}
Ainsi, on peut exprimer l'aire uniquement en fonction de x, sur \left[ 0;\dfrac{800}{3} \right] :
A\left(x\right)=x^2+x\left(800-3x\right)
A\left(x\right)=x^2+800x-3x^2
A\left(x\right)=-2x^2+800x
Etudier la fonction A\left(x\right)
A est une fonction trinôme donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
Ainsi, pour tout x\in\left[ 0;\dfrac{800}{3} \right], on a : A'\left(x\right)=-4x+800
On a :
-4x+800\gt0\Leftrightarrow-4x\gt-800\Leftrightarrow4x\lt800\Leftrightarrow x\lt200
Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive, et décroissante lorsque sa dérivée est négative, on obtient donc le tableau de variations suivant :
L'aire des terrains est donc maximale pour :
- x=200
- y=800-3\times200=800-600=200
C'est-à-dire lorsque les deux terrains sont des carrés de côté 200.
Quelle est la valeur de cette aire maximale ?
L'aire maximale est atteinte pour x=200
A\left(200\right)=-2\times200^2+800\times200=80\ 000
L'aire maximale des deux terrains est donc égale à : 80 000 m^2.