Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2+5x-4
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse -2 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse -2 a pour équation :
y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right)
y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=2x+5
Calcul de f\left(-2\right) et de f'\left(-2\right)
- f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2+5\times\left(-2\right)-4=4-10-4=-10
- f'\left(-2\right)=2\times\left(-2\right)+5=-4+5=1
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=1\left(x+2\right)-10
y=x-8
La tangente à C_f au point d'abscisse -2 a pour équation :
y=x-8
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-x^3-2x^2+4x-5
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse -1 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse -1 a pour équation :
y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)
y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-3x^2-4x+4
Calcul de f\left(-1\right) et de f'\left(-1\right)
- f\left(-1\right)=-\left(-1\right)^3-2\times\left(-1\right)^2+4\times\left(-1\right)-5=1-2-4-5=-10
- f'\left(-1\right)=-3\times\left(-1\right)^2-4\times\left(-1\right)+4=-3+4+4=5
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=5\left(x+1\right)-10
y=5x-5
La tangente à C_f au point d'abscisse -1 a pour équation :
y=5x-5
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^3+x^2-7x+3
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse 2 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse 2 a pour équation :
y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=6x^2+2x-7
Calcul de f\left(2\right) et de f'\left(2\right)
- f\left(2\right)=2\times2^3+2^2-7\times2+3=16+4-14+3=9
- f'\left(2\right)=6\times2^2+2\times2-7=24+4-7=21
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=21\left(x-2\right)+9
y=21x-33
La tangente à C_f au point d'abscisse 2 a pour équation :
y=21x-33
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{3}{2} \right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{5x+2}{-2x+3}
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse 2 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse 2 a pour équation :
y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de polynômes), donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
On constate que : f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{3}{2} \right\} :
- u\left(x\right)=5x+2
- v\left(x\right)=-2x+3
Donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{3}{2} \right\} :
- u'\left(x\right)=5
- v'\left(x\right)=-2
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{3}{2} \right\} on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{5\left(-2x+3\right)-\left(5x+2\right)\times\left(-2\right)}{\left(-2x+3\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-10x+15+10x+4}{\left(-2x+3\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{19}{\left(-2x+3\right)^2}
Calcul de f\left(2\right) et de f'\left(2\right)
- f\left(2\right)=\dfrac{5\times2+2}{-2\times2+3}=\dfrac{12}{-1}=-12
- f'\left(2\right)=\dfrac{19}{\left(-2\times2+3\right)^2}=\dfrac{19}{1}=19
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=19\left(x-2\right)-12
y=19x-50
La tangente à C_f au point d'abscisse 2 a pour équation :
y=19x-50
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -2 \right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{-3x+1}{x+2}
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse -1 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse -1 a pour équation :
y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)
y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de polynômes), donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
On constate que : f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-2 \right\} :
- u\left(x\right)=-3x+1
- v\left(x\right)=x+2
Donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -2 \right\} :
- u'\left(x\right)=-3
- v'\left(x\right)=1
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\} on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{-3\left(x+2\right)-\left(-3x+1\right)\times1}{\left(x+2\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-3x-6+3x-1}{\left(x+2\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-7}{\left(x+2\right)^2}
Calcul de f\left(-1\right) et de f'\left(-1\right)
- f\left(-1\right)=\dfrac{-3\times\left(-1\right)+1}{-1+2}=\dfrac{4}{1}=4
- f'\left(-1\right)=\dfrac{-7}{\left(-1+2\right)^2}=\dfrac{-7}{1}=-7
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=-7\left(x+1\right)+4
y=-7x-3
La tangente à C_f au point d'abscisse -1 a pour équation :
y=-7x-3
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{7}{2} \right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{-x+3}{2x+7}
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse -4 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse -4 a pour équation :
y=f'\left(-4\right)\left(x-\left(-4\right)\right)+f\left(-4\right)
y=f'\left(-4\right)\left(x+4\right)+f\left(-4\right)
Calcul de f'\left(x\right)
La fonction f est une fonction rationnelle (quotient de polynômes), donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
On constate que : f=\dfrac{u}{v} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{7}{2} \right\} :
- u\left(x\right)=-x+3
- v\left(x\right)=2x+7
Donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} avec pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{7}{2} \right\} :
- u'\left(x\right)=-1
- v'\left(x\right)=2
Ainsi, pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{7}{2} \right\} on a :
f'\left(x\right)=\dfrac{-1\left(2x+7\right)-\left(-x+3\right)\times2}{\left(2x+7\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-2x-7+2x-6}{\left(2x+7\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-13}{\left(2x+7\right)^2}
Calcul de f\left(-4\right) et de f'\left(-4\right)
- f\left(-4\right)=\dfrac{-\left(-4\right)+3}{2\times\left(-4\right)+7}=\dfrac{7}{-1}=-7
- f'\left(-4\right)=\dfrac{-13}{\left(2\times\left(-4\right)+7\right)^2}=\dfrac{-13}{1}=-13
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=-13\left(x+4\right)-7
y=-13x-59
La tangente à C_f au point d'abscisse -4 a pour équation :
y=-13x-59
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-2x^2+5x+3
Quelle est l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse 1 ?
La tangente à la C_f au point d'abscisse 1 a pour équation :
y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
Calcul de f'\left(x\right)
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout x\in\mathbb{R}, on a :
f'\left(x\right)=-4x+5
Calcul de f\left(1\right) et de f'\left(1\right)
- f\left(1\right)=-2\times1^2+5\times1+3=-2+5+3=6
- f'\left(1\right)=-4\times1+5=-4+5=1
Détermination de l'équation de la tangente
Une équation de la tangente est donc :
y=1\left(x-1\right)+6
y=x+5
La tangente à C_f au point d'abscisse 1 a pour équation :
y=x+5