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Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Méthode 1

En utilisant la formule

Une équation cartésienne de droite est de la forme \(\displaystyle{ax+by+c=0}\). On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(\displaystyle{A\left(2;-1\right)}\) et de vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}}\).

Etape 1

Donner la forme d'une équation de droite

D'après le cours, on sait qu'une équation cartésienne de droite est de la forme : \(\displaystyle{ax+by +c = 0}\).

Pour toute droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\), il existe une infinité d'équations cartésiennes mais une seule équation réduite.

On cherche une équation cartésienne de la forme \(\displaystyle{ax+by+c=0}\).

Etape 2

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \(\displaystyle{\left(d\right)}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) est alors un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

D'après l'énoncé, la droite a pour vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4\end{pmatrix}}\).

Etape 3

Déterminer les valeurs de a et b

D'après le cours, on sait que si \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\), alors \(\displaystyle{\left(d\right)}\) admet une équation de la forme \(\displaystyle{ax+by +c = 0}\).

On détermine donc les valeurs de a et de b.

On sait que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a une équation de la forme \(\displaystyle{ax+by +c = 0}\).

Or \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On peut choisir a et b tels que :

\(\displaystyle{\begin{cases} -b = -3 \cr \cr a=4 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} b = 3 \cr \cr a=4 \end{cases} }\)

Ainsi \(\displaystyle{\left(d\right)}\) admet une équation cartésienne du type : \(\displaystyle{4x+3y+c= 0}\).

Etape 4

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point \(\displaystyle{A\left(x_A; y_A\right)}\) de la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Le point \(\displaystyle{A\left(2;-1\right)}\) appartient à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Etape 5

Déterminer la valeur de c

On sait que le point \(\displaystyle{A\left(x_A;y_A\right)}\) appartient à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\). Ses coordonnées vérifient donc les équations de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On remplace donc dans l'équation précédente de la droite :

\(\displaystyle{ax_A+by_A +c = 0}\)

On connaît a, b, \(\displaystyle{x_A}\) et \(\displaystyle{y_A}\), on peut donc déterminer c.

La droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) passe par le point \(\displaystyle{A\left(2;-1\right)}\). Donc les coordonnées de A vérifient l'équation précédente de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{4x_A+3y_A+c= 0}\)

\(\displaystyle{4\times 2+ 3\times \left(-1\right) +c = 0}\)

\(\displaystyle{8-3 +c = 0}\)

\(\displaystyle{c= -5}\)

Etape 6

Conclure

On conclut en donnant l'équation de la droite avec les coefficients a, b et c déterminés.

On obtient une équation cartésienne de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) : \(\displaystyle{4x+3y-5=0}\).

Méthode 2

En redémontrant la formule

Afin de déterminer l'équation cartésienne d'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) dont on connaît deux points A et B ou un point A et un vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\), on définit un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartenant à \(\displaystyle{\left(d\right)}\) puis on étudie la condition de colinéarité entre le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) et le vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(\displaystyle{A\left(1;3\right)}\) et de vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\).

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à \(\displaystyle{\left(d\right)}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) est alors un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

La droite a pour vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5\cr\cr 2\end{pmatrix}}\).

Etape 2

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point \(\displaystyle{A\left(x_A; y_A\right)}\) de la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Le point \(\displaystyle{A\left(1;3\right)}\) appartient à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Etape 3

Ecrire l'équation à respecter pour qu'un point appartienne à la droite

\(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x_u \cr\cr y_u \end{pmatrix}}\) sont colinéaires.

Or, d'après le cours, deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{m}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a' \cr\cr b' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si \(\displaystyle{ab'-a'b=0}\).

On doit donc résoudre l'équation suivante :

\(\displaystyle{\left(x-x_A\right)\times y_u - x_u\times \left(y-y_A\right) = 0}\)

Soit \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) un point quelconque du plan.

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-3 \end{pmatrix}}\).

M appartient donc à la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) sont colinéaires, soit, si et seulement si :

\(\displaystyle{\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0}\)

Etape 4

Ecrire l'équation obtenue plus simplement

On transforme l'équation pour la ramener à une équation de la forme \(\displaystyle{ax+by+c = 0}\).

On transforme l'équation :

\(\displaystyle{\left(x-1\right) \times 2 - 5\times \left(y-3\right) = 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2x-2 - 5y+15= 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2x - 5y+13= 0}\)

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant l'équation cartésienne de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) obtenue.

La droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{2x - 5y+13= 0}\).

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