Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Méthode 1

En utilisant la formule

Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite (d) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(2;1) et de vecteur directeur u34.

Etape 1

Donner la forme d'une équation de droite

D'après le cours, on sait qu'une équation cartésienne de droite est de la forme : ax+by+c=0.

Pour toute droite (d), il existe une infinité d'équations cartésiennes mais une seule équation réduite.

On cherche une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.

Etape 2

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à (d), AB est alors un vecteur directeur de (d).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite (d) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de (d) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

D'après l'énoncé, la droite a pour vecteur directeur u34.

Etape 3

Déterminer les valeurs de a et b

D'après le cours, on sait que si uba est un vecteur directeur la droite (d), alors (d) admet une équation de la forme ax+by+c=0.

On détermine donc les valeurs de a et de b.

On sait que (d) a une équation de la forme ax+by+c=0.

Or u34 est un vecteur directeur de (d).

On peut choisir a et b tels que :

b=3a=4b=3a=4

Ainsi (d) admet une équation cartésienne du type : 4x+3y+c=0.

Etape 4

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A(xA;yA) de la droite (d).

Le point A(2;1) appartient à la droite (d).

Etape 5

Déterminer la valeur de c

On sait que le point A(xA;yA) appartient à la droite (d). Ses coordonnées vérifient donc les équations de (d).

On remplace donc dans l'équation précédente de la droite :

axA+byA+c=0

On connaît a, b, xA et yA, on peut donc déterminer c.

La droite (d) passe par le point A(2;1). Donc les coordonnées de A vérifient l'équation précédente de (d).

Ainsi :

4xA+3yA+c=0

4×2+3×(1)+c=0

83+c=0

c=5

Etape 6

Conclure

On conclut en donnant l'équation de la droite avec les coefficients a, b et c déterminés.

On obtient une équation cartésienne de (d) : 4x+3y5=0.

Méthode 2

En redémontrant la formule

Afin de déterminer l'équation cartésienne d'une droite (d) dont on connaît deux points A et B ou un point A et un vecteur directeur u, on définit un point M(x;y) appartenant à (d) puis on étudie la condition de colinéarité entre le vecteur AM et le vecteur directeur u.

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(1;3) et de vecteur directeur u52.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de la droite

On détermine un vecteur directeur de la droite.

On peut l'obtenir de différentes façons :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à (d), AB est alors un vecteur directeur de (d).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite (d) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de (d) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

La droite a pour coefficient directeur u52.

Etape 2

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Grâce aux informations de l'énoncé, on donne les coordonnées d'un point A(xA;yA) de la droite (d).

Le point A(1;3) appartient à la droite (d).

Etape 3

Ecrire l'équation à respecter pour qu'un point appartienne à la droite

M(x;y) appartient à la droite (d) si et seulement si les vecteurs AMxxAyyA et uxuyu sont colinéaires.

Or, d'après le cours, deux vecteurs mab et nab sont colinéaires si et seulement si abab=0.

On doit donc résoudre l'équation suivante :

(xxA)×yuxu×(yyA)=0

Soit M(x;y) un point quelconque du plan.

AM a pour coordonnées x1y3.

M appartient donc à la droite (d) si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires, soit, si et seulement si :

(x1)×25×(y3)=0

Etape 4

Ecrire l'équation obtenue plus simplement

On transforme l'équation pour la ramener à une équation de la forme ax+by+c=0.

On transforme l'équation :

(x1)×25×(y3)=0

2x25y+15=0

2x5y+13=0

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant l'équation cartésienne de (d) obtenue.

La droite (d) a pour équation cartésienne 2x5y+13=0.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.