Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre Méthode

Sommaire

1Identifier un point comme le milieu des deux autres 2Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points 3En déduire l'expression des coordonnées du symétrique 4Rappeler les coordonnées des points connus 5Conclure

Lorsqu'un point B est l'image d'un point A par la symétrie de centre I, on peut déterminer les coordonnées de B à partir des coordonnées des deux autres points.

On considère les points A\left(4;5\right) et I\left(-1;2\right). Déterminer les coordonnées de B, image de A par la symétrie de centre I.

Etape 1

Identifier un point comme le milieu des deux autres

On explique que, comme B est l'image de A par la symétrie de centre I, alors I est le milieu du segment \left[ AB \right].

B est l'image de A par la symétrie de centre I. Ainsi, I est le milieu du segment \left[ AB \right].

Etape 2

Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points

On rappelle que, si I est le milieu de \left[ AB\right], alors :

  • x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
  • y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}

Comme I est le milieu de \left[ AB\right], on sait que ses coordonnées vérifient :

  • x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}
  • y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}
Etape 3

En déduire l'expression des coordonnées du symétrique

On déduit l'expression des coordonnées du symétrique en les isolant dans les relations précédentes. On obtient :

  • x_B = 2x_I -x_A
  • y_B = 2y_I -y_A

On sait que :

x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}

Donc :

2x_I = x_A + x_B

D'où :

x_B = 2x_I -x_A

De même :

y_B = 2y_I -y_A

Etape 4

Rappeler les coordonnées des points connus

On rappelle les coordonnées des points A et I.

Or, on sait que A\left(4;5\right) et I\left(-1;2\right).

Etape 5

Conclure

On effectue le calcul de x_B et de y_B, puis on conclut en donnant les coordonnées de B.

On en déduit que :

  • x_B =2\times \left(-1\right)-4 = -2-4 = -6
  • y_B = 2 \times 2 -5 = 4-5 = -1

Par conséquent, le point B a pour coordonnées \left(-6;-1\right).