Montrer que trois points sont alignés en utilisant une équation de droiteMéthode

Une des méthodes pour montrer que trois points sont alignés consiste à démontrer qu'ils appartiennent à la même droite.

On considère un repère \left( O;I;J \right). Montrer que les points A\left(1;2\right), B\left(-1 ; 6\right) et C\left(2;0\right) sont alignés.

Etape 1

Déterminer une équation de la droite formée par les deux premiers points

On détermine d'abord une équation de la droite \left(AB\right) en utilisant les coordonnées de A et de B.

On détermine l'équation de la droite \left(AB\right). Comme x_A\neq x_B, cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet donc une équation du type y =ax+b.

D'après le cours, le coefficient directeur vaut :

a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Soit :

a = \dfrac{6-2}{-1-1}= \dfrac{4}{-2}=-2

Ainsi, \left(AB\right) admet une équation de la forme y=-2x+b.

Or, on sait que A appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la droite. Ainsi :

y_A = -2x_A+b

Donc :

2= -2\times 1+b

\Leftrightarrow 2= -2+b

\Leftrightarrow b = 4

Finalement, \left(AB\right) admet pour équation y =-2x+4.

Etape 2

Vérifier que le troisième point appartient à la droite

On vérifie ensuite que le point C appartient à la droite \left(AB\right), en vérifiant que les coordonnées de C vérifient l'équation précédente de la droite \left(AB\right).

On vérifie que C \in \left(AB\right).

On a C\left(2;0\right). Vérifions que y_C = -2x_C +4 :

-2x_C +4=-2 \times 2+4 =-4+4 =0=y_c

Donc C \in \left(AB\right).

Etape 3

Conclure

Si les points A, B et C appartiennent à la même droite, on peut en conclure qu'ils sont alignés.

Les points A, B et C appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.