Montrer que trois points sont alignés en utilisant une équation de droite Méthode

Sommaire

1Déterminer une équation de la droite formée par les deux premiers points 2Vérifier que le troisième point appartient à la droite 3Conclure

Une des méthodes pour montrer que trois points sont alignés consiste à démontrer qu'ils appartiennent à la même droite.

On considère un repère \left( O;I;J \right). Montrer que les points A\left(1;2\right), B\left(-1 ; 6\right) et C\left(2;0\right) sont alignés.

Etape 1

Déterminer une équation de la droite formée par les deux premiers points

On détermine d'abord une équation de la droite \left(AB\right) en utilisant les coordonnées de A et de B.

On détermine l'équation de la droite \left(AB\right). Comme x_A\neq x_B, cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet donc une équation du type y =ax+b.

D'après le cours, le coefficient directeur vaut :

a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Soit :

a = \dfrac{6-2}{-1-1}= \dfrac{4}{-2}=-2

Ainsi, \left(AB\right) admet une équation de la forme y=-2x+b.

Or, on sait que A appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la droite. Ainsi :

y_A = -2x_A+b

Donc :

2= -2\times 1+b

\Leftrightarrow 2= -2+b

\Leftrightarrow b = 4

Finalement, \left(AB\right) admet pour équation y =-2x+4.

Etape 2

Vérifier que le troisième point appartient à la droite

On vérifie ensuite que le point C appartient à la droite \left(AB\right), en vérifiant que les coordonnées de C vérifient l'équation précédente de la droite \left(AB\right).

On vérifie que C \in \left(AB\right).

On a C\left(2;0\right). Vérifions que y_C = -2x_C +4 :

-2x_C +4=-2 \times 2+4 =-4+4 =0=y_c

Donc C \in \left(AB\right).

Etape 3

Conclure

Si les points A, B et C appartiennent à la même droite, on peut en conclure qu'ils sont alignés.

Les points A, B et C appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.