Représenter et caractériser les droites du planCours

I

Les vecteurs et les droites

On sait que les fonctions affines admettent comme courbe caractéristique des droites dans le plan. On utilise la notion de vecteur directeur d'une droite pour en déterminer la direction ou l'inclinaison, caractérisée par la pente. Cela donne une manière plus générale pour définir les droites, et on peut utiliser le déterminant pour caractériser deux droites parallèles. On peut ainsi en déduire une condition d'alignement de trois points.

A

Le vecteur directeur d'une droite

Une droite peut être portée par un vecteur, on parle alors d'un vecteur directeur de la droite.

Vecteur directeur

Soit \Delta une droite du plan. On appelle vecteur directeur tout vecteur \overrightarrow{u} tel qu'il existe deux points A et B qui appartiennent à \Delta tel que :

\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}

Pour une droite du plan, il existe une infinité de vecteurs directeurs, et tous ces vecteurs sont colinéaires.

On ne dit donc jamais « le vecteur directeur » mais « un vecteur directeur » d'une droite.

Un vecteur est directeur dès qu'il indique la « direction » de la droite.

Pour un vecteur donné, il existe une infinité de droites qui l'admettent comme vecteur directeur, elles sont toutes parallèles entre elles.

Soient deux points A et B du plan. Alors la droite (AB) admet toujours en particulier un vecteur directeur donné par \overrightarrow{AB}.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), soient A( 2, 3) et B(4, 5) deux points du plan. Alors la droite (AB) admet un vecteur directeur donné par le vecteur :
\overrightarrow{AB} = ( 4 -2; 5 - 3) = (2;2)

Mais le vecteur 2 \overrightarrow{AB}=(4;4) est aussi un autre vecteur directeur de (AB).

B

La pente d'une droite

La pente d'une droite caractérise son inclinaison.

La pente

On considère le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soit \Delta une droite du plan. Soit \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \Delta. Si les coordonnées de \overrightarrow{u}(x;y) sont telles que x \not = 0, alors, on appelle pente de la droite \Delta la valeur m = \dfrac{y}{x}.

Soit \overrightarrow{u}(7; 1) un vecteur directeur d'une droite. Alors, la pente de cette droite est \dfrac{1}{7}.

Le calcul de la pente d'une droite ne dépend pas du vecteur directeur choisi. Si on choisit un autre vecteur directeur \overrightarrow{v} de \Delta, alors, on sait que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires. Si on note (x;y) les coordonnées de \overrightarrow{u}, et (x', y') celles de \overrightarrow{v} dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), il existe un réel \lambda tel que :
\left\{\begin{array}{cc} x &= \lambda x' \\ y &= \lambda y' \end{array}\right.

Finalement, le calcul de la pente revient au même, on a :
\dfrac{y}{x} = \dfrac{\lambda x'}{\lambda y'} = \dfrac{y'}{x'}

La droite suivante (d) de pente −2, a un vecteur directeur qui est donné par \overrightarrow{v} = (2; -4).

pente d'une droite

Dans le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), soient A(x, y) et B(x, y) deux points. Alors, la pente de (AB) est donnée par le nombre m \in \mathbb{R} :
m = \dfrac{y_B -y_A}{x_B − x_A}

C

Le déterminant pour caractériser deux droites parallèles

Le déterminant est un outil mathématique pour déterminer si deux vecteurs sont colinéaires (autrement dit parallèles).

Soient deux droites \Delta et \Delta', qui admettent pour vecteurs directeurs respectifs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. Alors on a :

\Delta et \Delta' sont parallèles ou confondues si et seulement si \textrm{det} \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = 0

Soient \Delta et \Delta' deux droites du plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient \overrightarrow{u}(\sqrt{2},7) et \overrightarrow{v}(2, 7\sqrt{2}) des vecteurs directeurs de \Delta et \Delta' respectivement. On a :
\begin{aligned}\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) &= \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2} - 7 \times 2\\ &= 2 \times 7 - 7 \times 2\\ &= 0 \end{aligned}

Donc \Delta et \Delta' sont parallèles ou bien confondues. 

Pour savoir si les deux droites sont confondues, il faut déterminer s'il existe un point présent sur les deux droites. S'il existe un point qui est sur \Delta mais pas sur \Delta', alors elles sont parallèles non confondues.

D

Une condition d'alignement de trois points

Trois points sont alignés si les deux vecteurs qui les portent sont colinéaires. On peut ainsi utiliser le déterminant.

Soient A, B et C trois points du plan. Soit \overrightarrow{u} un vecteur directeur de la droite (AB). Alors, A, B et C sont alignés si et seulement si \overrightarrow{u} est colinéaire avec AC.

On souhaite savoir si les points A(2;4), B(5; −3), et C(7;−7) du plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) sont alignés ou non. On calcule alors les vecteurs directeurs des droites (AB) et (BC). On sait que :

  • \overrightarrow{AB}( 5 - 2 ; -3 - 4) = \overrightarrow{AB}(3;-7)
  • \overrightarrow{BC}(7 - 5; -7 - 3) = \overrightarrow{BC}(2, -10)

 

Pour savoir si les deux vecteurs sont colinéaires, il faut calculer leur déterminant :
\textrm{det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 3 \times (-10) - (-7) \times 2 = -16 \not = 0

Les points A, B et C ne sont pas alignés.

II

Les équations de droite

L'équation cartésienne d'une droite permet de caractériser à l'aide d'une formule toutes les droites du plan. Cela permet notamment de vérifier qu'un point appartient à une droite, ou encore de déterminer les coordonnées d'un point à l'intersection de deux droites. Les équations réduites des droites font le lien avec les fonctions affines.

A

L'équation cartésienne

Toutes les droites du plan admettent une équation appelée cartésienne, qui permet de caractériser la droite.

Équation cartésienne

On appelle équation cartésienne une équation sous la forme suivante :

a x + b  y = c

Avec a, b et c des nombres réels. On donne parfois l'équation sous la forme :

a  x + b  y − c = 0

On demande que a et b ne soient pas nuls en même temps.

Le déterminant permet de démontrer pourquoi les équations cartésiennes caractérisent les droites.

On considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Alors, l'ensemble des points de coordonnés (x, y) dans ce repère qui satisfont une équation cartésienne a x + b  y = c forment une droite dans le plan. Réciproquement, toute droite du plan admet une équation cartésienne.

Soit M(x,y) un point du plan, où le plan est muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient \Delta une droite du plan, A un point de cette droite, et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de cette droite. Alors, M appartient à la droite \Delta si et seulement si \overrightarrow{AM} est colinéaire à \overrightarrow{u}.

On note \overrightarrow{u}(b, a) les coordonnées de \overrightarrow{u} dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), et A(\alpha, \beta) les coordonnées de A dans ce repère. Le vecteur \overrightarrow{u} n'est pas le vecteur nul, donc a et b ne sont pas nuls en même temps. Le vecteur \overrightarrow{AM} a pour coordonnées \overrightarrow{AM}(x - \alpha, y - \beta).

On sait alors que le déterminant des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul :
\textrm{det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}) = 0

Or :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = b  ( y - \beta) - a (x - \alpha)

Donc, M(x, y) appartient à la droite \Delta si et seulement si :
b  (y − \beta) − a  (x − \alpha) = 0

Si on développe l'équation, on obtient :
b  y − b \beta − a  x + a \alpha = 0

Donc, on obtient finalement :
-a  x + b  y = b \beta − a \alpha

C'est une équation cartésienne.

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on peut vérifier que l'équation cartésienne trouvée correspond bien à la droite \Delta. Le vecteur \overrightarrow{u} indique la direction de la droite \Delta, et A appartient bien à \Delta.

-

Dans les équations cartésiennes :
a  x + b  y − c = 0

Les constantes a, b ou c peuvent être nulles.

−3x = 1 est une équation cartésienne. Cette droite est représentée dans la figure suivante :

-
B

L'équation réduite

Les équations réduites sont un cas particulier des équations cartésiennes. Les équations réduites permettent d'une part de faire le lien entre les droites du plan et les fonctions affines, et d'autre part elles représentent fidèlement une droite : une droite admet une unique équation réduite, contrairement aux équations cartésiennes.

Équation réduite

Une équation réduite est une équation de la forme :

y = mx + b

m et b sont des nombres réels. Elle peut aussi prendre la forme :

x = k

k est un nombre réel.

Une équation réduite est une forme particulière d'une équation cartésienne, puisque :

y = mx + b \iff y − mx − b = 0

ou bien :

x = k \iff x − k = 0

-

On retrouve l'expression des droites affines à l'aide des fonctions affines. En effet, la fonction f : x \mapsto mx + b admet un graphe qui est exactement la droite \Delta dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) qui admet pour équation réduite y = mx +b.

Une équation réduite ne représente qu'une seule droite. Autrement dit, si deux équations réduites représentent la même droite, alors ce sont exactement les mêmes équations.

Soit \Delta une droite qui admet pour équation cartésienne −3x −2y + 25 = 0. Pour trouver son équation réduite, on peut diviser par le coefficient devant y. On obtient : 
\dfrac{-3}{-2}x + y + \dfrac{25}{-2} = 0 \iff \dfrac{3}{2}x + y - \dfrac{25}{2} = 0

On peut ensuite réarranger selon la forme d'une équation réduite :
y = − \dfrac{3}{2}x + \dfrac{25}{2}

Pour chaque droite il y a une unique équation réduite, contrairement aux équations cartésiennes. On dit donc « l'équation réduite de la droite ».

III

Les liens entre équations cartésiennes, vecteurs directeurs, équations réduites et pente d'une droite

Les équations cartésiennes, les vecteurs directeurs, les équations réduites et la pente d'une droite sont autant d'outils qui permettent de représenter et caractériser les droites du plan. Puisque ces outils représentent toutes les droites du plan, il existe des liens qui permettent de passer de l'un à l'autre. Les coordonnées d'un vecteur directeur donnent les coefficients des équations cartésiennes. On passe d'une équation cartésienne à l'équation réduite d'une droite en résolvant l'équation en y . Enfin, la pente est donnée par le coefficient directeur de l'équation réduite.

A

Un vecteur directeur et les coefficients des équations cartésiennes

Les coordonnées d'un vecteur directeur correspondent exactement aux coefficients d'une équation cartésienne de la droite. Il suffit ensuite de déterminer le réel c.

Soit ax + by + c = 0 une équation cartésienne d'une droite \Delta du plan. Alors, un vecteur directeur de \Delta est donné par \overrightarrow{u}(-b; a).

On peut donner une preuve de ce résultat à l'aide du déterminant.

On considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient deux points M(x;y) et M'(x';y'), distincts, qui sont sur la droite \Delta. Alors, on sait que :
\begin{cases} ax + by + c &= 0 \\ ax'+ by'+ c &= 0 \end{cases}

Le vecteur \overrightarrow{MM'} est un vecteur directeur de la droite \Delta, puisqu'il est non nul, car M et M' sont deux points différents de la droite \Delta. Ce vecteur a pour coordonnées MM'(x'-x; y'-y). Mais, en calculant la différence des deux équations précédentes (on observe que la constante c disparaît), on obtient alors :
a(x' -x) + b(y'-y) = 0

Or, on connaît les coordonnées de \overrightarrow{u} et celles de \overrightarrow{MM'}, donc on peut calculer le déterminant :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{MM'}) = -b(y'-'y) -a(x'-x)

En utilisant l'équation trouvée plus haut, on a alors :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{MM'}) = -\left( b(y'-y) + a(x'-x) \right) = 0

Donc, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{MM'} sont colinéaires. Ainsi, \overrightarrow{u} est bien un vecteur directeur de \Delta.

Soit \Delta qui admet 4x − 5y + 2 = 0 comme équation cartésienne. Alors un vecteur directeur de \Delta est donné par \overrightarrow{u}(5;4).

Soit \Delta une droite qui admet \overrightarrow{u}(7; 6) comme vecteur directeur, et qui passe par le point A(3;2) dans le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). On cherche une équation cartésienne de \Delta. On sait que cette équation peut avoir la forme suivante :
6x − 7y + c = 0

Puisque \overrightarrow{u}(7;6) est un vecteur directeur de \Delta. Il ne reste plus qu'à déterminer la constante c \in \mathbb{R}. Pour cela, on utilise le fait que \Delta passe par A, autrement dit les coordonnées de A satisfont l'équation cartésienne de \Delta. Donc :
6\times 3 − 7 \times 2 + c = 0

Autrement dit :
18 − 14 + c = 0 \iff c = −4

Donc une équation cartésienne de \Delta est donnée par :
6x − 7y − 4 = 0

B

D'une équation cartésienne à l'équation réduite d'une droite

Pour exprimer une équation cartésienne sous forme réduite, il suffit de résoudre l'équation en y si b  est différent de 0 , en x sinon.

On considère une droite \Delta du plan qui admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c =0. On rappelle que a et b ne sont pas nuls en même temps.

  • Si b=0, la droite \Delta est parallèle à l'axe des ordonnées, et \Delta admet pour équation réduite x = \dfrac{c}{a}, et a est non nul.
  • Si b \not = 0 la droite \Delta a pour équation réduite y = -\dfrac{a}{b}x − \dfrac{c}{b}, donc admet une pente de m = -\dfrac{a}{b}.
C

La pente et le coefficient directeur de l'équation réduite

Le coefficient directeur de l'équation réduite d'une droite correspond exactement à la pente de la droite.

Soit \Delta une droite du plan qui admet l'équation réduite y = mx + b. Alors, m est la pente, ou le coefficient directeur de la droite \Delta.

On considère le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Si \Delta est une droite de pente \dfrac{-1}{3}, qui passe par A(3, 8), on peut trouver une équation réduite de \Delta grâce à la propriété. En effet, on sait que l'équation réduite sera de la forme :
y = \dfrac{−1}{3} x + c

Avec la constante c qui reste à déterminer.

Puisque la droite \Delta passe par A(3, 8), alors :
8 = \dfrac{−1}{3}\times 3 + c

Finalement, on résout :
8 = −1 + c \iff c = 9

Donc \Delta admet comme équation réduite :
y = \dfrac{−1}{3} x + 9

IV

Les systèmes d'équations linéaires et l'intersection de droites

Grâce aux équations cartésiennes, on peut déterminer les points d'intersections de deux droites dans le plan. On doit pour cela résoudre des systèmes linéaires. En fonction du déterminant du système, on peut interpréter géométriquement le système d'équations linéaires : il y a aucun, un seul, ou une infinité de points qui sont solutions. On a alors affaire soit à deux droites parallèles, soit à deux droites sécantes, soit à deux droites confondues.

A

Un système d'équations linéaires

On peut représenter l'intersection de deux droites par un système d'équations linéaires en résolvant simultanément leurs équations cartésiennes.

Système d'équations linéaires

On suppose le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient \Delta et \Delta' deux droites du plan. Soient ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0 des équations cartésiennes de \Delta et \Delta'. On rappelle alors que (a, b) et (a', b') ne peuvent pas être des couples de nombres simultanément nuls.

Trouver les points M(x, y) qui appartiennent aux deux droites \Delta et \Delta' revient à déterminer les nombres réels (x, y) solutions du système :
\begin{aligned}\left\{ \begin{array}{cc} ax + by + c &= 0\\ a'x + b'y + c' &= 0 \end{array} \right. \end{aligned}

On appelle ce système un système d'équations linéaires.

B

Le déterminant d'un système

Le déterminant d'un système d'équations linéaires sera nul si le système admet une infinité ou aucune solution.

Déterminant du système

Soit un système d'équations linéaires donné par :
\begin{aligned}\left\{ \begin{array}{cc} ax + by + c &= 0\\ a'x + b'y + c' &= 0 \end{array} \right. \end{aligned}

On appelle déterminant du système la valeur ab' − a'b.

Le déterminant du système ne dépend pas des constantes c et c'.

On a vu que pour une équation cartésienne d'une droite ax + by + c = 0, un vecteur directeur de cette droite a pour expression \overrightarrow{u}(-b; a). Ainsi, pour un système d'équations cartésiennes de deux droites \Delta et \Delta' :
\begin{aligned}\left\{ \begin{array}{cc} ax + by + c &= 0\\ a'x + b'y + c' &= 0 \end{array} \right. \end{aligned}

Le déterminant ab' − a'b peut s'interpréter comme le déterminant d'un couple de vecteurs directeurs de \Delta et \Delta'. En effet, \overrightarrow{u}(-b;a) et \overrightarrow{v}(-b';a') sont des vecteurs de \Delta et \Delta' respectivement. On a alors :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = -ba' - a(-b') = ab' - a'b

Ce qui est bien l'expression du déterminant d'un système par définition.

Soit un système d'équations linéaires donné par :
\begin{aligned}\left\{ \begin{array}{cc} ax + by + c &= 0\\ a'x + b'y + c' &= 0 \end{array} \right. \end{aligned}

On note \textrm{det} = ab' - a'b le déterminant du système.

  • Si le déterminant \textrm{det} est nul, le système admet soit aucune solution, soit une infinité.
  • Si le déterminant \textrm{det} est non nul, alors le système admet qu'une seule solution.
C

L'interprétation géométrique d'un système d'équations linéaires

On peut déduire géométriquement la forme de l'intersection de deux droites grâce au déterminant du système d'équations linéaires.

Un système d'équations linéaires représente l'intersection de deux droites du plan. Ainsi, on a une correspondance entre le calcul du déterminant et la position relative géométrique des deux droites :

  • Si le déterminant est non nul, alors le système n'admet qu'une seule solution. Les deux droites sont alors sécantes, et la solution représente les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
  • Si le déterminant est nul, alors le système n'admet aucune ou une infinité de solutions. Dans ce cas, les deux droites sont soit parallèles, soit confondues.