Droites du planCours

I

Vecteur directeur

Jusqu'à présent, on définissait une droite par la donnée de deux points du plan.

Unicité d'une droite passant par deux points

Soient A et B deux points distincts du plan.

Il existe une et une seule droite passant par les points A et B, notée droite (AB).

Mais on peut également définir une droite par un point et un vecteur donnant la direction de la droite. On dit qu'un tel vecteur est un vecteur directeur de la droite.

En particulier, \overrightarrow{AB}  est donc un vecteur directeur de la droite (AB).

Vecteur directeur d'une droite

Soient A et B deux points distincts du plan.

Un vecteur \vec{u} non nul est un vecteur directeur de la droite (AB) si et seulement si les vecteurs \vec{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires, autrement dit, si ils ont la même direction.

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Nombre de vecteurs directeurs

Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

-

En effet, un vecteur directeur n'est là que pour indiquer la direction. Son sens et sa norme n'ont pas d'importance.

Dans le cas d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées, les vecteurs directeurs sont de la forme \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}0k\right) où k est un nombre réel.

Unicité d'une droite passant par un point fixé, connaissant un vecteur directeur

Soient A un point du plan et \vec u un vecteur non nul.

Il existe une et une seule droite passant par A et de vecteur directeur \vec u.

-
II

Équations de droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé \left(O;\vec i ; \vec j \right).

Équation d'une droite

Soit (d) une droite du plan.

Une équation de la droite (d) est une égalité qui doit impérativement être vraie pour les coordonnées (x;y) de tous les points de cette droite, et fausse pour les coordonnées des points qui ne sont pas sur la droite.

Soit (d) une droite ayant pour équation y= 3x+5.

Le point A(0;5) appartient à la droite car l'égalité est vraie pour x=0 et y =5. En effet,  3 \times 0 + 5 = 5.

À l'inverse, le point B(1;2) n'appartient pas à la droite car l'égalité est fausse pour x=1 et y=2. En effet,   3 \times 1 + 5 = 8 \neq 2.

On peut présenter une équation de droite sous plusieurs formes.

A

Équation réduite d'une droite

L'équation réduite est la forme que l'on rencontre jusqu'en classe de troisième.

Équation réduite

Soit (d) une droite du plan.

  • Si (d) est parallèle à l'axe des ordonnées, l'équation réduite de (d) est de la forme  x=k, où k est nombre un réel fixé.

  • Sinon, l'équation réduite de (d) est de la forme  y=mx+p, où m et p sont des nombres réels fixés.

 

Le coefficient m s'appelle le coefficient directeur de (d), et p l'ordonnée à l'origine de (d).

-

Le coefficient directeur d'une droite est parfois appelé la pente de la droite.

Le coefficient directeur détermine la direction de la droite.

Lorsque la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, on peut le calculer à partir de deux points quelconque  A\left(x_A;y_A\right) et  B\left(x_B;y_B\right) de la droite grâce à la formule suivante :

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

On considère la droite (AB) avec A(2;3) et B\left(4;5\right).

Son coefficient directeur est  m=\dfrac{5-3}{4-2}=\dfrac 2 2=1.

Toute droite admet une unique équation réduite.

B

Équations cartésiennes d'une droite

Il existe une façon plus générale de présenter une équation de droite : les équations cartésiennes.

Équation cartésienne

Toute droite (d) du plan admet une équation de la forme :

ax+by+c=0

a, b et c sont trois réels, a et b ne pouvant être tous les deux nuls en même temps.

Cette équation est appelée équation cartésienne de (d).

Le vecteur  \vec {u} \begin{pmatrix} -b \cr a \end{pmatrix} est alors un vecteur directeur de (d).

Soient a et b des nombres réels qui ne sont pas tous les deux nuls.

Soient (d) une droite du plan et   \vec u \begin{pmatrix} x_u \cr y_u \end{pmatrix} un vecteur directeur de (d).

-

Un point M(x;y) appartient à (d) si et seulement si \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires, autrement dit, si le déterminant des deux vecteurs est nul.

Or, \overrightarrow{AM} a pour coordonnées \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{x-x_A}{y-y_A}\right).

Donc :

\begin{gathered}\mathit{det}\left(\vec{u},\vec{AM}\right)=\left|\begin{matrix}x-x_A&x_u\\y-y_A&y_u\end{matrix}\right|\\\ =\left(x-x_A\right)y_u-\left(y-y_A\right)x_u\\\ =\ xy_u-x_Ay_u-yx_u+y_Ax_u\\\ =\ y_ux-x_uy+x_uy_A-y_ux_A\end{gathered}

En posant a=y_u , b=-x_u et c=x_uy_A-y_ux_A, on obtient :

\mathit{det}(\vec{u},\vec{AM})=\mathit{ax}+\mathit{by}+c

Donc \mathit{det}(\vec u,\vec{\mathit{AM}})=0\ \Leftrightarrow \ \mathit{ax}+\mathit{by}+c=0.

On a bien une équation de la forme voulue.

De plus, avec les notations employées, le vecteur \vec{u} a pour coordonnées

\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{-b}a\right) et c'est un vecteur directeur de (d).

Un vecteur directeur de la droite (d) d'équation cartésienne x+2y+3=0 a pour coordonnées \left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{−2}3\right).

Une droite admet une unique équation réduite mais une infinité d'équations cartésiennes. En effet, on obtient des équations équivalentes en multipliant les deux membres par n'importe quel nombre non nul.

 x+2y+3=0\ \Leftrightarrow \ 2x+4y+6=0 , donc les deux équations ont les mêmes solutions, qui correspondent aux mêmes points du plan. Elles définissent toutes les deux la même droite.

Les coefficients d'une équation cartésienne ne sont pas les mêmes que ceux de l'équation réduite.

Lien entre équations cartésiennes et équation réduite

Soit (d) une droite d'équation cartésienne \mathit{ax}+\mathit{by}+c=0.

  • Si b=0, la droite (d) est parallèle à l'axe des ordonnées.
  • Si b\neq 0, la droite (d) a pour coefficient directeur m=-\dfrac a b.

La droite d'équation cartésienne -x−5y+7=0 est une droite ayant pour coefficient directeur : m=-\dfrac{(−1)}{(−5)}=-\dfrac 1 5.

  • Si b=0, alors a\neq 0 car a et b ne peuvent pas être nuls en même temps. On obtient donc \mathit{ax}+c=0, c'est-à-dire x=-\dfrac c a, ce qui est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
  • Si b\neq 0, on peut isoler y dans l'équation :

ax+by+c=0 \\ \Leftrightarrow\ by=-ax - c\\ \Leftrightarrow \ y=\dfrac{-ax-c} b\\ \Leftrightarrow \ y=-\dfrac a bx-\dfrac cb

 

On retrouve alors l'équation réduite, avec m=-\dfrac a b et p=-\dfrac c b.

C

Lien entre coefficient directeur et vecteur directeur 

Coefficient directeur à partir du vecteur directeur

Soit (d) une droite de vecteur directeur \vec u\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}ab\right) avec a\neq 0, c'est-à-dire non parallèle à l'axe des ordonnées.

Le coefficient directeur de (d) est égal à \dfrac b a.

La droite (d) de vecteur directeur \vec v\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}2{−4}\right) a pour coefficient directeur −2 car :

\dfrac{−4} 2=−2

-

 Vecteur directeur à partir du coefficient directeur

Soit (d) une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur m

Un vecteur directeur de (d) est le vecteur : \vec u\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}1m\right).

La droite d'équation y=−2x+3 a pour coefficient directeur −2. Un vecteur directeur de cette droite est \vec u\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}1{−2}\right).

-

Lorsque l'on connaît les coordonnées d'un point de la droite et un vecteur directeur, on peut déterminer l'équation réduite y=mx+p.

  • Le vecteur directeur nous permet de déterminer le coefficient directeur m.
  • On peut alors utiliser les coordonnées du point pour trouver l'ordonnée à l'origine p.

Soit (d) la droite de vecteur directeur \vec u\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}63\right) passant par le point A(1;2).

Le coefficient directeur de la droite est m=\dfrac 3 6=\dfrac 1 2.

L'équation réduite de (d) est donc y=\dfrac 1 2x+p avec p qui reste à déterminer.

Le point A(1,2) est un point de la droite (d), donc ses coordonnées vérifient l'équation de (d) :

\textcolor{Green}{2}=\dfrac 1 2\times \textcolor{Green}{1}+p

On en déduit : p=2-\dfrac 1 2=\dfrac 3 2.

En conclusion, l'équation réduite de (d) est : y=\dfrac 1 2x+\dfrac 3 2.

III

Droites parallèles et sécantes

On dispose désormais de plusieurs outils pour savoir si deux droites sont parallèles, sécantes, distinctes ou confondues :

  • les coefficients directeurs ;
  • les vecteurs directeurs ;
  • les équations cartésiennes.
A

Avec les coefficients directeurs

Condition de parallélisme

Deux droites, non parallèles à l'axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

Les droites (d_1) et (d_2), d'équations respectives y=−2x−6 et y=−2x+3, sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur −2.

-

Si deux droites sont parallèles à l'axe des ordonnées, elles n'ont pas de coefficient directeur, mais elles sont parallèles entre elles puisque toutes deux parallèles à l'axe des ordonnées.

Les droites d'équations x=−3 et x=5 sont parallèles, car elles sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées.

B

Avec les vecteurs directeurs

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

C

Avec les équations cartésiennes

Condition analytique du parallélisme

Les droites d'équations \mathit{ax}+\mathit{by}+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si ab'-a'b=0.

Considérons les droites (d) et (d') d'équations respectives −4x+y−7=0 et

x-\dfrac 1 4y+15=0.

Calculons :

\left(-4\right)\times \left(-\dfrac 1 4\right)-1\times 1=1-1=0

Par conséquent, les droites (d) et (d') sont parallèles.

Avec les notations du théorème, la condition ab'-a'b=0 correspond au fait que les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires, c'est-à-dire que leur déterminant est nul.

Deux droites parallèles peuvent être soit distinctes, soit confondes. On peut également le savoir à l'aide des équations cartésiennes.

Les droites d'équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont confondues si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a' ; b' ; c') sont proportionnels.

Les droites 2x + 3y−1=0 et 4x+6y−2=0 sont confondues car les triplets (2 ; 3 ; −1) et (4 ; 6 ; −2) sont proportionnels.

En effet, \dfrac 4 2=\dfrac 6 3=\dfrac{−2}{−1}=2.

D

Systèmes et intersections de droites

1

Système d'équations

Soient (d) et (d') deux droites du plan.

Soit M(x;y) un point d'intersection de (d) et (d').

Alors M\in (d) et M\in (d'), donc les coordonnées de M doivent vérifier simultanément les deux équations, celle de (d) et celle de (d').

Pour traduire cela, on utilise un système d'équations.

Soient (d) et (d') deux droites du plan d'équations respectives ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0.

L'ensemble des points M(x ; y) qui appartiennent à (d) et à (d') sont les solutions du système d'équations :

\left(S\right) : \begin{cases} ax+by+c=0 \cr a'x+b'y+c'=0 \end{cases}

Soient (d) et (d') deux droites du plan ayant pour équations respectives x-y−4=0 et 2x+5y+6=0.

Chercher le ou les points d'intersections de (d) et (d') revient à résoudre le système suivant :

\left(S\right) : \begin{cases} x-y=4 \cr \cr 2x+5y=-6 \end{cases}

Ce système admet un unique couple (x,y) solution qui est (2;−2).

(d) et (d') ont donc un unique point d'intersection qui est le point A(2;−2).

(On n'a pas détaillé ici la résolution du système mais le détail se trouve dans la méthode « Résoudre un système d'équations ».)

On peut résoudre un tel système de deux manières différentes : par combinaisons ou par substitution.

Cependant, avant de se lancer dans la résolution d'un tel système, il est bon de se rappeler que, puisqu'il s'agit de l'intersection de deux droites, seuls trois cas peuvent se produire.

  • Si les droites sont sécantes, le système admet un unique couple solution.

  • Si les droites sont parallèles et distinctes, le système n'admet pas de solution.

  • Si les droites sont parallèles et confondues, le système admet une infinité de solutions.

-

Pour déterminer dans quel cas on se trouve, on utilise un outil appelé « déterminant d'un système » qui utilise les propriétés sur le parallélisme des droites que nous avons vues précédemment.

2

Déterminant d'un système

On a vu que deux droites d'équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si ab'-a'b=0.

On va donc calculer ab'-a'b et déduire le nombre de solutions en fonction de sa valeur.

Déterminant d'un système

Soit (S) le système suivant, où a, a', b, b', k et k' sont des nombres réels :

\begin{cases} ax+by=k \cr ax'+b'y=k' \end{cases}

Le nombre ab'-a'b est appelé déterminant du système (S).

Nombre de solutions d'un système

Avec les notations précédentes :

  • si ab'-a'b\neq 0, le système (S) admet une unique solution ;
  • si ab'-a'b=0, le système (S) n'admet aucune solution ou bien une infinité de solutions. 

-

Il est important de calculer le déterminant d'un système avant de se lancer dans sa résolution pour savoir dès le départ quel est le nombre de solutions.

Soit \left(S\right) le système suivant :

\begin{cases} 2x-3y=5 \cr 7x+y=4 \end{cases}

Le déterminant du système (S) est :

2\times 1-7\times \left(-3\right)\ =\ 2+21\ =\ 23

Il est non nul, le système admet donc une unique solution.

(Rappel : La résolution en elle-même est expliquée à part dans la méthode « Résoudre un système » de ce chapitre.)

IV

Conditions d'alignement de trois points

On peut utiliser les propriétés et théorèmes précédents concernant les positions relatives de deux droites pour étudier l'alignement de trois points dans le plan.

Trois points du plan A, B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur.

En effet, si les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur, alors elles sont parallèles.

Comme, de plus elles ont un point commun (le point A), elles sont confondues.

Soient A, B et C les points de coordonnés respectives A(1;3)B(2;5) et C(3;7).

Le coefficient directeur de la droite (AB) est : m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5−3}{2−1}=2.

Le coefficient directeur de la droite (AC) est : n=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{7−3}{3−1}=\dfrac 4 2=2.

Les points A, B et C sont alignés car m=n.

Trois points du plan A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \vec{\mathit{AB}} et \vec{\mathit{AC}} sont colinéaires.

En effet, si les vecteurs \vec{\mathit{AB}} et \vec{\mathit{AC}} sont colinéaires, alors les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Comme elles ont de plus en commun le point A, elles sont confondues.

Soient A, B et C les points de coordonnés respectives A(1;3), B(2;5) et C(3;7).

Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées :

\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{2−1}{5−3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}12\right)

Le vecteur \vec{\mathit{AC}} a pour coordonnées :

\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{3−1}{7−3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}24\right)

Donc \mathit{det}(\vec{\mathit{AB}},\vec{\mathit{AC}})=1\times 4−2\times 2=0.

Les vecteurs \vec{\mathit{AB}} et \vec{\mathit{AC}} sont donc colinéaires et les points A, B et C sont alignés.