Géométrie dans le plan Cours

Sommaire

IGéométrie dans un triangleADroites remarquables d'un triangle1Les hauteurs2Les médianes3Les médiatrices4Les bissectricesBTriangle rectangleCTrigonométrieIIProjeté orthogonalIIIQuadrilatèresAParallélogrammeBLosangeCRectangleDCarréIVAires et volumesAAires1Triangle2Quadrilatères3DisqueBVolumes1Volume d'un parallélépipède2Volume d'une pyramide3Volume d'un cylindre4Volume d'un cône5Volume d'une boule
I

Géométrie dans un triangle

A

Droites remarquables d'un triangle

1

Les hauteurs

Hauteur

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Orthocentre

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.

-

Une des hauteurs peut être située "à l'extérieur" du triangle.

2

Les médianes

Médiane

Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Centre de gravité du triangle

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.

-
3

Les médiatrices

Médiatrice

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.

Cercle circonscrit

Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

-
4

Les bissectrices

Bissectrice

La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles de même mesure.

Cercle inscrit

Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

-
B

Triangle rectangle

Théorème de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}

On considère ici un triangle ABC rectangle en C.

-

Dans le triangle ABC rectangle en C :

AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2

On en déduit que :

AB = 10\text{ cm}

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC, l'égalité BC^2=AB^2+AC^2 est vérifiée, alors le triangle ABC est rectangle en A et \left[BC\right] est l'hypoténuse.

-

D'une part : BC^2=5^2=25.

D'autre part : AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25.

Par conséquent :

BC^2=AB^2+AC^2

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.

Médiane issue de l'angle droit

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.

-

Médiane issue de l'angle droit : réciproque

Réciproquement, si la longueur de la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Cercle circonscrit

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.

-

Cercle circonscrit : réciproque

Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.

C

Trigonométrie

Soit ABC un triangle rectangle en B. On appelle \alpha l'angle \widehat{BAC}.

On rappelle les formules trigonométriques suivantes :

\cos \left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}
\sin \left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BC}{AC}
\tan \left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\dfrac{BC}{AB}
-

À l'aide des deux premières, on déduit :

\mathit{AB}=\mathit{AC}\times \cos \left(\alpha\right) et \mathit{BC}=\mathit{AC}\times \sin \left(\alpha\right)

Donc, dans le cas particulier où l'hypoténuse AC a pour longueur 1, on a :

\mathit{AB}=1\times \cos \left(\alpha\right)=\cos \left(\alpha\right)

\mathit{BC}=1\times \sin \left(\alpha\right)=\sin \left(\alpha\right)

Soient ABC un triangle rectangle en B et \alpha l'angle \widehat{BAC}.

On a \cos ^2(\alpha)+\sin ^2(\alpha)=1.

\mathit{AB}=\mathit{AC}\times \cos (\alpha) 

et \mathit{BC}=\mathit{AC}\times \sin (\alpha) 

Donc :

\mathit{AC}^2=(\mathit{AC}\times \cos (\alpha))^2+(\mathit{AC}\times \sin (\alpha))^2=\mathit{AC}^2\cos^2(\alpha)+\mathit{AC}^2\sin ^2(\alpha)

En simplifiant tout par \mathit{AC}^2, on retrouve :

1=\cos ^2\left(\alpha\right)+\sin ^2\left(\alpha\right)

II

Projeté orthogonal

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Soit A un point du plan et (d) une droite du plan.

Le projeté orthogonal de A sur (d) est le point H appartenant à (d) tel que :

\left(AH\right)\perp \left(d\right)

-

Si M appartient à la droite (d), son projeté orthogonal sur (d) est lui-même.

Projeté orthogonal et distance à une droite

Le projeté orthogonal d'un point A sur une droite (d) est le point de la droite (d) le plus proche de A.

Ce théorème découle du théorème de Pythagore.

Soient A un point du plan et (d) une droite du plan.

Cas 1

Si A\in (d)

Si A\in (d), son projeté est lui-même, donc c'est bien le point de la droite le plus proche de A.

Cas 2

Si A\notin (d)

Soient H le projeté orthogonal de A sur (d) et M un point quelconque de la droite (d).

Le triangle AHM est alors rectangle en H.

On peut donc appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle, c'est-à-dire :

\mathit{AM}^2=\mathit{AH}^2+\mathit{HM}^2

Les distances étant positives, elles sont rangées dans le même ordre que leurs carrés, donc comparer les distances revient à comparer leur carré.

On cherche à avoir la valeur la plus petite possible de AM, donc de \mathit{AM}^2

Or, la distance AH est fixée, donc \mathit{AH}^2 aussi.

On cherche donc à minimiser \mathit{HM}^2, c'est-à-dire la distance HM.

Or, la plus petite valeur possible de la distance HM est 0, atteinte quand M=H.

-

Conclusion :

La distance AM est donc minimale quand M=H.

H est le point de la droit le plus proche de A.

III

Quadrilatères

A

Parallélogramme

Caractérisation d'un parallélogramme

Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

  • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
  • Deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur.
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu.
B

Losange

Caractérisation d'un losange à partir d'un quadrilatère quelconque

Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un losange si et seulement si tous ses côtés sont de même longueur.

Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un losange si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

  • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur.
  • Ses diagonales sont perpendiculaires.
C

Rectangle

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un quadrilatère quelconque

Un quadrilatère est un rectangle si et seulement si il possède trois angles droits.

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

  • Un de ses angles est droit.
  • Ses diagonales sont de même longueur.
D

Carré

Caractérisation d'un carré

Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle, alors ce quadrilatère est un carré.

IV

Aires et volumes

A

Aires

1

Triangle

Aire d'un triangle

L'aire A d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une hauteur par la longueur de la base correspondante.

-

Un triangle possédant trois hauteurs, il existe trois calculs possibles de son aire.

2

Quadrilatères

Aire d'un parallélogramme

L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur :

A=B \times h

-

Les losanges, rectangles et carrés sont des parallélogrammes.

Aire d'un trapèze

L'aire A d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la hauteur par la somme des bases :

A= \dfrac{h\left(b+B\right)}{2}

-
3

Disque

Aire d'un disque

L'aire A d'un disque de rayon R est égale à :

A = \pi R^2

-
B

Volumes

1

Volume d'un parallélépipède 

Volume d'un parallélépipède

Le volume V d'un parallélépipède rectangle est égal à :

V = L \times l \times h

-

Le volume de ce parallélépipède rectangle est égal à :

V=6 \times 5 \times 3 = 90\text{ cm}^3   

2

Volume d'une pyramide

Volume d'une pyramide

Le volume V d'une pyramide est égal à :

V =\dfrac{1}{3}\times h \times B

h est la hauteur de la pyramide et B l'aire de la base correspondante.

-

La pyramide à base carrée ci-dessus a pour volume :

V=\dfrac13\times7\times\left(6\times6\right)=84\text{ cm}^3   

3

Volume d'un cylindre

Volume d'un cylindre de révolution

Le volume V d'un cylindre de révolution est égal à :

V = h \times \pi R^{2}

-

Le volume V du cylindre de révolution ci-dessus est égal à :

V=\pi \times 3^2 \times 7 = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi\text{ cm}^3   

4

Volume d'un cône

Volume d'un cône

Le volume  V  d'un cône de révolution est égal à :

V =\dfrac{1}{3}\times h \times \pi R^{2}

-

Le volume du cône ci-dessus est :

V=\dfrac13\times10\times\pi\times6^2=120\pi\text{ cm}^3  

Soit :

V\approx377\text{ cm}^3   

5

Volume d'une boule

Volume d'une boule

Le volume V d'une boule de rayon R est égal à :

V =\dfrac{4}{3}\times \pi R^{3}

-

Le volume de la boule ci-dessus est :

V=\dfrac43\times\pi\times6^3=\dfrac{864}{3}\pi=288\pi\text{ cm}^3