Les limites de fonctions Cours

Sommaire

ILimite d'une fonction en l'infiniALimite finieBLimite infinieIILimite d'une fonction en un réel aALimite finieBLimite infinieCLimite à gauche et à droiteIIILes règles d'opérationsALes limites des fonctions usuellesBLa limite d'une sommeCLa limite d'un produitDLa limite d'un quotientELes formes indéterminéesFLa limite d'une fonction composéeIVLimites et ordreALe théorème d'encadrementBLe théorème de comparaisonVLes asymptotesALes asymptotes horizontalesBLes asymptotes verticales
I

Limite d'une fonction en l'infini

A

Limite finie

Limite finie en l'infini

  • Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers + \infty si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les réels x supérieurs à x_{0}, f\left(x\right) appartient à cet intervalle.
  • Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers - \infty si, pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les réels x inférieurs à x_{0}, f\left(x\right) appartient à cet intervalle.

On note :

  • \lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = L ou \lim\limits_{+\infty } f = L
  • \lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = L ou \lim\limits_{-\infty } f = L

\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{1}{x} = 0

\lim\limits_{x \to -\infty }\left( \dfrac{1}{x - 1} + 2 \right) = 2

Quand elle existe, la limite d'une fonction en l'infini est unique.
B

Limite infinie

Limite infinie d'une fonction en l'infini

  • Une fonction f tend vers + \infty quand x tend vers + \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x supérieurs à x_{0}, f\left(x\right) \gt A .
  • Une fonction f tend vers - \infty quand x tend vers + \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x supérieurs à x_{0}, f\left(x\right) \lt A.
  • Une fonction f tend vers + \infty quand x tend vers - \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x inférieurs à x_{0}, f\left(x\right) \gt A.
  • Une fonction f tend vers - \infty quand x tend vers - \infty si, pour tout réel A, il existe un réel x_{0} tel que pour tous les x inférieurs à x_{0}, f\left(x\right) \lt A.

On note :

  • \lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = + \infty ou \lim\limits_{+\infty } f = + \infty
  • \lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = - \infty ou \lim\limits_{+\infty } f = - \infty
  • \lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = + \infty ou \lim\limits_{-\infty } f = + \infty
  • \lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = - \infty ou \lim\limits_{-\infty } f = - \infty

\lim\limits_{x \to +\infty } \left( x + 5 \right) = + \infty

\lim\limits_{x \to -\infty } x^3 = - \infty

II

Limite d'une fonction en un réel a

A

Limite finie

Limite finie en un réel a

Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers le réel a si, pour tout intervalle ouvert J centré en L, il existe un intervalle ouvert I centré en a tel que, pour tous les réels x appartenant à I, f\left(x\right) appartient à J.

On note : \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = L ou \lim\limits_{a} f = L

\lim\limits_{x \to 0} \left( x+9 \right) = 9

\lim\limits_{x \to 1} \left( x^2 - 1 \right) = 0

Quand elle existe, la limite d'une fonction en un réel est unique.

Si la fonction f est continue en a, alors \lim\limits_{x \to a}f\left(x\right)=f\left(a\right).

B

Limite infinie

Limite infinie en un réel a

  • Une fonction f tend vers + \infty quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A, il existe un intervalle I centré en a tel que, pour tout réel x appartenant à I, f\left(x\right) \gt A.
  • Une fonction f tend vers - \infty quand x tend vers le réel a si, pour tout réel A, il existe un intervalle I centré en a tel que, pour tout réel x appartenant à I, f\left(x\right) \lt A.

On note :

  • \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = + \infty ou \lim\limits_{a} f = + \infty
  • \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = - \infty ou \lim\limits_{a} f = - \infty
Pour calculer ce type de limites, il faut en général différencier la limite à droite de la limite à gauche.
C

Limite à gauche et à droite

Limite à gauche et limite à droite

On peut étudier la limite d'une fonction en un réel a :

  • Par valeurs inférieures à ce réel (on parle de limite à gauche en a )
  • Par valeurs supérieures à ce réel (on parle de limite à droite en a )

On note :

  • \lim\limits_{x \to a^{-}} ou \lim\limits_{x \to a \atop x\lt a} pour la limite à gauche en a
  • \lim\limits_{x \to a^{+}} ou \lim\limits_{x \to a \atop x\gt a} pour la limite à droite en a

On a :

\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty

Alors que :

\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty

La fonction f admet une limite en a si et seulement si elle admet une limite à gauche en a et une limite à droite en a et que ces deux limites sont égales.

On a :

\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty

Alors que :

\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty

Ces deux limites n'étant pas égales, la fonction inverse n'admet pas de limite en 0.

III

Les règles d'opérations

A

Les limites des fonctions usuelles

Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, sinus et cosinus admettent une limite finie en tout réel a de leur ensemble de définition, qui est égale à leur valeur en a.

Les règles d'opérations sur les limites pour les fonctions sont les mêmes que les règles pour les suites pour l'addition, le produit et le quotient.

Soit n\in\mathbb{N}^{\star}.

  • \lim\limits_{x \to +\infty}x^n=+\infty
  • \lim\limits_{x \to -\infty}x^n=+\infty si n est pair et \lim\limits_{x \to -\infty}x^n=-\infty si n est impair
  • \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}=0^+ et \lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x}=0^-
  • \lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty et \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty

\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty

B

La limite d'une somme

On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels. Les fonctions f, g et f + g sont définies au voisinage de \alpha .

Limite de f en \alpha L L L + \infty - \infty + \infty
Limite de g en \alpha L' + \infty - \infty + \infty - \infty - \infty
Limite de f + g en \alpha L + L' + \infty - \infty + \infty - \infty ?

Le symbole "?" représente une forme indéterminée.

C

La limite d'un produit

On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et f \times g sont définies au voisinage de \alpha .

Limite de f en \alpha L L \gt 0 L \lt 0 L \gt 0 L \lt 0 + \infty - \infty + \infty 0
Limite de g en \alpha L' + \infty + \infty - \infty - \infty + \infty - \infty - \infty \pm \infty
Limite de f \times g en \alpha L \times L' + \infty - \infty - \infty + \infty + \infty + \infty - \infty ?

Le symbole "?" représente une forme indéterminée.

D

La limite d'un quotient

On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L et L' deux réels.
Les fonctions f, g et \dfrac{f}{g} sont définies au voisinage de \alpha .

Limite de f en \alpha L L + \infty + \infty - \infty - \infty 0 \pm \infty L \gt 0 ou + \infty L \lt 0 ou - \infty
Limite de g en \alpha L' \neq 0 \pm \infty L' \gt 0 L' \lt 0 L' \gt 0 L' \lt 0 0 \pm \infty 0^{+} 0^{-} 0^{+} 0^{-}
Limite de \dfrac{f}{g} en \alpha \dfrac{L}{L'} 0 + \infty - \infty - \infty + \infty ? ? + \infty - \infty - \infty + \infty

Le symbole "?" représente une forme indéterminée.

E

Les formes indéterminées

Il existe 4 formes indéterminées :

" +\infty-\infty " ; " 0\times \infty " ; " \dfrac{\infty}{\infty} " ; " \dfrac00 "

Les formes indéterminées, sont les configurations pour lesquelles les règles opératoires sur les limites ne permettent pas de conclure. Il faut alors modifier l'expression pour en déterminer la limite.

F

La limite d'une fonction composée

Soient \alpha , \beta et \gamma trois réels ou + \infty ou - \infty .

Fonction composée

Soit f une fonction définie sur une partie J de \mathbb{R}, et g une fonction définie sur une partie I de \mathbb{R} à valeurs dans J.

La fonction f\circ g (se lit "f rond g") est la fonction définie sur I par f\circ g\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right].

Soient f et g, deux fonctions définies sur \mathbb{R}, par f\left(x\right)=x^2+1 et g\left(x\right)=-2x+7.

Pour tout réel x, on a :

f\circ g \left(x\right)=\left(-2x+7\right)^2+1=4x^2-28x+49+1=4x^2-28x+50

Limite d'une fonction composée

Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = \beta et \lim\limits_{x \to \beta } f\left(x\right) = \gamma, alors :

\lim\limits_{x \to \alpha } f\circ g\left(x\right) = \gamma

On sait que :

  • \lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{1}{x} = \textcolor{Blue}{0}
  • \lim\limits_{x \to \textcolor{Blue}{0}}\left( x - 5 \right)= -5

Donc, par composition :

\lim\limits_{x \to +\infty }\left( \dfrac{1}{x} - 5 \right)= -5

Soit une suite \left(u_{n}\right) telle que, pour tout entier naturel n, u_{n} = f\left(v_{n}\right)\left( v_n \right) est une autre suite et f une fonction définie au moins sur l'ensemble des valeurs prises par la suite \left( v_n \right).

Si :

  • La suite \left(v_{n}\right) est telle que \lim\limits_{n \to +\infty } v_{n} = \alpha
  • La fonction f est telle que \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = \beta

Alors :

\lim\limits_{n \to +\infty } u_{n} = \beta

Soit la suite \left(v_n\right) définie pour tout entier naturel n non nul par v_n=\dfrac1n. Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2+1.

Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :

u_n=\dfrac{1}{n^2}+1=f\left(v_n\right)

On a :

  • \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=0
  • \lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=1

Donc :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=1

IV

Limites et ordre

A

Le théorème d'encadrement

On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L un réel.

Théorème d'encadrement

Soient f, g et h trois fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right) \leq h\left(x\right).

Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L et \lim\limits_{x \to \alpha } h\left(x\right) = L, alors :

\lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L

Considérons une fonction f définie sur \mathbb{R} telle que pour tout réel x non nul, -\dfrac1x \leq f\left(x\right)\leq \dfrac1x.

On a :

  • \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac1x\right)=0
  • \lim\limits_{x \to +\infty}\left(-\dfrac1x\right)=0

Donc d'après le théorème d'encadrement :

\lim\limits_{x\to +\infty}f\left(x\right)=0

B

Le théorème de comparaison

On désigne par \alpha un réel, + \infty ou - \infty . On désigne par L un réel.

Théorème de comparaison

Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right).

Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = L et \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = L', alors L \leq L'.

Théorème de comparaison (2)

Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de \alpha , f\left(x\right) \leq g\left(x\right) :

  • Si \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = + \infty , alors \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = + \infty .
  • Si \lim\limits_{x \to \alpha } g\left(x\right) = - \infty , alors \lim\limits_{x \to \alpha } f\left(x\right) = - \infty .

Considérons une fonction f telle que pour tout réel x, f\left(x\right)\geq 3x^2+6.

On a :

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(3x^2+6\right)=+\infty

Donc par comparaison :

\lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty

V

Les asymptotes

Soit f une fonction, on désigne par C sa courbe représentative, et par a, b et c trois réels.

A

Les asymptotes horizontales

Asymptote horizontale en +\infty

La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C au voisinage de + \infty si et seulement si :

\lim\limits_{x \to +\infty } f\left(x\right) = L

-

Asymptote horizontale en -\infty

La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C au voisinage de - \infty si et seulement si :

\lim\limits_{x \to -\infty } f\left(x\right) = L

-

Une même droite peut être asymptote horizontale à C au voisinage de + \infty et au voisinage de - \infty .

B

Les asymptotes verticales

Asymptote verticale

La droite d'équation x = a est asymptote verticale à C si et seulement si :

\lim\limits_{x \to a^{-}} f\left(x\right) = \pm \infty

\text{ou}\lim\limits_{x \to a^{+}} f\left(x\right) = \pm \infty

-
Une même droite peut être asymptote verticale à C à gauche et à droite de a.