Déterminer la limite d'une fonction lorsque x tend vers une valeur interditeMéthode

Soit f une fonction définie comme un quotient dont le dénominateur s'annule en a. On cherche à déterminer la limite à droite ou à gauche de f en a.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} par :

\forall x\in \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\},\ f\left( x \right)=\dfrac{x^2+2}{\left( x-1 \right)^3}

Déterminer \lim\limits_{x \to 1^-}f\left( x \right).

Etape 1

Identifier si la limite est calculée à gauche ou à droite

On identifie si l'on recherche :

  • La limite à droite en a (x tend alors vers a par valeurs supérieures). On note \lim\limits_{x \to a^{+}}f\left(x\right).
  • La limite à gauche en a (x tend alors vers a par valeurs inférieures). On note \lim\limits_{x \to a^{-}}f\left(x\right).

Cela va avoir un impact sur le signe du dénominateur.

On cherche ici à déterminer la limite à gauche en 1 (lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures) de f.

Etape 2

Donner le signe du dénominateur

Lorsque l'on fait tendre x vers a, le dénominateur tend vers 0. On détermine alors si le dénominateur approche 0 par valeurs négatives ou par valeurs positives quand x tend vers a.

Afin d'effectuer une vérification, on peut s'aider d'un exemple pour déterminer le signe du dénominateur. On choisit une valeur proche de a, supérieure ou inférieure selon le cas considéré. On calcule le dénominateur pour cette valeur, et on détermine son signe.

Ici, on cherche :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)

On choisit une valeur proche de 1 mais qui lui est inférieure : par exemple 0,9. On calcule alors :

0{,}9-1=-0{,}1\lt0

On a bien :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)=0^-

On sait que :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)=0^-

Comme \left(x-1\right) et \left( x-1 \right)^3 ont même signe, alors on a également :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)^3=0^-

Etape 3

Calculer la limite du numérateur

On détermine la limite du numérateur grâce aux méthodes usuelles.

On a :

\lim\limits_{x \to 1^-}x^2=1

Donc, par somme :

\lim\limits_{x \to 1^-}\left(x^2+2\right)=3

Etape 4

Conclure

On conclut sur la limite de la fonction.

Cas 1

Si le dénominateur tend vers 0 en restant positif

  • Si le numérateur tend vers +\infty ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers +\infty.
  • Si le numérateur tend vers -\infty ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers -\infty.
  • Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.
Cas 2

Si le dénominateur tend vers 0 en restant négatif

  • Si le numérateur tend vers +\infty ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers -\infty.
  • Si le numérateur tend vers -\infty ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers +\infty.
  • Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.

Ici :

  • Le numérateur tend vers un réel strictement positif.
  • Le dénominateur vers 0 en restant négatif.

On peut en déduire que le quotient tend vers -\infty. On a donc :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}f\left( x \right)=-\infty

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule