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  4. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction lorsque x tend vers une valeur interdite

Déterminer la limite d'une fonction lorsque x tend vers une valeur interdite Méthode

Sommaire

1Identifier si la limite est calculée à gauche ou à droite 2Donner le signe du dénominateur 3Calculer la limite du numérateur 4Conclure

Soit f une fonction définie comme un quotient dont le dénominateur s'annule en a. On cherche à déterminer la limite à droite ou à gauche de f en a.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} par :

\forall x\in \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\},\ f\left( x \right)=\dfrac{x^2+2}{\left( x-1 \right)^3}

Déterminer \lim\limits_{x \to 1^-}f\left( x \right).

Etape 1

Identifier si la limite est calculée à gauche ou à droite

On identifie si l'on recherche :

  • La limite à droite en a (x tend alors vers a par valeurs supérieures). On note \lim\limits_{x \to a^{+}}f\left(x\right).
  • La limite à gauche en a (x tend alors vers a par valeurs inférieures). On note \lim\limits_{x \to a^{-}}f\left(x\right).

Cela va avoir un impact sur le signe du dénominateur.

On cherche ici à déterminer la limite à gauche en 1 (lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures) de f.

Etape 2

Donner le signe du dénominateur

Lorsque l'on fait tendre x vers a, le dénominateur tend vers 0. On détermine alors si le dénominateur approche 0 par valeurs négatives ou par valeurs positives quand x tend vers a.

Afin d'effectuer une vérification, on peut s'aider d'un exemple pour déterminer le signe du dénominateur. On choisit une valeur proche de a, supérieure ou inférieure selon le cas considéré. On calcule le dénominateur pour cette valeur, et on détermine son signe.

Ici, on cherche :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)

On choisit une valeur proche de 1 mais qui lui est inférieure : par exemple 0,9. On calcule alors :

0{,}9-1=-0{,}1\lt0

On a bien :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)=0^-

On sait que :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)=0^-

Comme \left(x-1\right) et \left( x-1 \right)^3 ont même signe, alors on a également :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}\left(x-1\right)^3=0^-

Etape 3

Calculer la limite du numérateur

On détermine la limite du numérateur grâce aux méthodes usuelles.

On a :

\lim\limits_{x \to 1^-}x^2=1

Donc, par somme :

\lim\limits_{x \to 1^-}\left(x^2+2\right)=3

Etape 4

Conclure

On conclut sur la limite de la fonction.

Cas 1

Si le dénominateur tend vers 0 en restant positif

  • Si le numérateur tend vers +\infty ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers +\infty.
  • Si le numérateur tend vers -\infty ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers -\infty.
  • Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.
Cas 2

Si le dénominateur tend vers 0 en restant négatif

  • Si le numérateur tend vers +\infty ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers -\infty.
  • Si le numérateur tend vers -\infty ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers +\infty.
  • Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.

Ici :

  • Le numérateur tend vers un réel strictement positif.
  • Le dénominateur vers 0 en restant négatif.

On peut en déduire que le quotient tend vers -\infty. On a donc :

\lim\limits_{x \to 1^{-}}f\left( x \right)=-\infty

Voir aussi
  • Cours : Les limites de fonctions
  • Quiz : Les limites de fonctions
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de fonctions
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de fonctions
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction convergente
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement si une fonction est convergente ou divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une fonction
  • Exercice : Connaître la convergence des fonctions usuelles
  • Exercice : Démontrer la croissance comparée des fonctions puissance entière et exponentielle en +infini
  • Exercice : Déterminer la limite d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction carré composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction puissance entière composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction racine carré composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction inverse composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction exponentielle composée par une fonction affine
  • Exercice : Compléter le tableau de convergence d'une somme de fonctions
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de fonctions usuelles composées initialement sous forme indéterminée
  • Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un produit de fonctions
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de fonctions usuelles composées initialement sous forme indéterminée
  • Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un quotient de fonctions
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de fonctions usuelles
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  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de fonctions composées initialement sous forme indéterminée
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  • Exercice : Déduire une limite d'une asymptote horizontale
  • Exercice : Déduire une limite d'une asymptote verticale
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes horizontales
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes verticales
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