Sommaire
1Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition 2Déterminer la limite de f en chacune de ces bornes 3Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025
La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote verticale en un réel a.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -2;3 \right\} par :
f\left( x \right)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{\left( x+2 \right)\left( x -3\right)}
Déterminer les éventuelles asymptotes verticales de C_{f}.
Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition
Si C_{f} admet une asymptote verticale, c'est nécessairement en un réel a correspondant à une borne finie (c'est-à-dire réelle) et ouverte (c'est-à-dire exclue) du domaine de définition de f.
On liste donc tous les réels a vérifiant cette condition.
Si la fonction est sous la forme de quotient, il pourra y avoir des asymptotes verticales aux valeurs interdites.
On écrit le domaine de définition de f sous la forme d'une réunion d'intervalles :
D_{f}= \left] -\infty;-2 \right[\cup\left] -2;3 \right[\cup\left] 3;+\infty \right[
Les bornes finies ouvertes sont donc -2 et 3.
Déterminer la limite de f en chacune de ces bornes
- Si f n'est pas définie à gauche de a_k, on détermine la limite à droite de f en a_k : \lim\limits_{x \to a_{k}^{+}}f\left( x \right).
- Si f n'est pas définie à droite de a_k, on détermine la limite à gauche de f en a_k : \lim\limits_{x \to a_{k}^{-}}f\left( x \right).
-
Si f est définie à gauche et à droite de a_k, on détermine les limites à droite et à gauche de f en a_k : \lim\limits_{x \to a_{k}^{+}}f\left( x \right) et \lim\limits_{x \to a_{k}^{-}}f\left( x \right).
On a :
- \lim\limits_{x \to -2^{-}}\left(x+2\right)=0^{-}
- \lim\limits_{x \to -2^{+}}\left(x+2\right)=0^{+}
- \lim\limits_{x \to -2}\dfrac{x^2+3x+4}{x-3}=-\dfrac{2}{5}
Par quotient, on peut donc en conclure :
- \lim\limits_{x \to -2^{-}}f\left(x\right)=+\infty
- \lim\limits_{x \to -2^{+}}f\left(x\right)=-\infty
De même, on a :
- \lim\limits_{x \to 3^{-}}\left(x-3\right)=0^{-}
- \lim\limits_{x \to 3^{+}}\left(x-3\right)=0^{+}
- \lim\limits_{x \to 3}\dfrac{x^2+3x+4}{x+2}=\dfrac{22}{5}
Par quotient, on peut donc en conclure :
- \lim\limits_{x \to 3^{-}}f\left(x\right)=-\infty
- \lim\limits_{x \to 3^{+}}f\left(x\right)=+\infty
Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales
On peut conclure que la droite d'équation x=a_{k} est asymptote verticale à C_{ƒ} dans les trois cas suivants :
- Si f n'est pas définie à gauche de a_k et \lim\limits_{x \to a_k^{+}}f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x \to a_k^{+}}f\left(x\right)=-\infty
- Si f n'est pas définie à droite de a_k et \lim\limits_{x \to a_k^{-}}f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x \to a_k^{-}}f\left(x\right)=-\infty
- Si f est définie à gauche et à droite de a_k et les limites de f à droite et à gauche de a_k sont infinies (mais pas forcément égales).
f est définie à droite et à gauche de -2 et les limites à droite et à gauche de f en -2 sont infinies.
De même, f est définie à droite et à gauche de 3 et les limites à droite et à gauche de f en 3 sont infinies.
On peut donc conclure que les droites d'équation x=-2 et x=3 sont asymptotes verticales à C_{f}.