Démontrer qu'une courbe admet une asymptote verticale Méthode

Sommaire

1Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition 2Déterminer la limite de f en chacune de ces bornes 3Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales

La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote verticale en un réel a.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -2;3 \right\} par :

f\left( x \right)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{\left( x+2 \right)\left( x -3\right)}

Déterminer les éventuelles asymptotes verticales de C_{f}.

Etape 1

Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition

Si C_{f} admet une asymptote verticale, c'est nécessairement en un réel a correspondant à une borne finie (c'est-à-dire réelle) et ouverte (c'est-à-dire exclue) du domaine de définition de f.

On liste donc tous les réels a vérifiant cette condition.

Si la fonction est sous la forme de quotient, il pourra y avoir des asymptotes verticales aux valeurs interdites.

On écrit le domaine de définition de f sous la forme d'une réunion d'intervalles :

D_{f}= \left] -\infty;-2 \right[\cup\left] -2;3 \right[\cup\left] 3;+\infty \right[

Les bornes finies ouvertes sont donc −2 et 3.

Etape 2

Déterminer la limite de f en chacune de ces bornes

  • Si f n'est pas définie à gauche de a_k, on détermine la limite à droite de f en a_k : \lim_{x \to a_{k}^{+}}f\left( x \right).
  • Si f n'est pas définie à droite de a_k, on détermine la limite à gauche de f en a_k : \lim_{x \to a_{k}^{-}}f\left( x \right).
  • Si f est définie à gauche et à droite de a_k, on détermine les limites à droite et à gauche de f en a_k : \lim_{x \to a_{k}^{+}}f\left( x \right) et \lim_{x \to a_{k}^{-}}f\left( x \right).

On a :

  • \lim_{x \to -2^{-}}\left(x+2\right)=0^{-}
  • \lim_{x \to -2^{+}}\left(x+2\right)=0^{+}
  • \lim_{x \to -2}\dfrac{x^2+3x+4}{x-3}=-\dfrac{2}{5}

Par quotient, on peut donc en conclure :

  • \lim_{x \to -2^{-}}f\left(x\right)=+\infty
  • \lim_{x \to -2^{+}}f\left(x\right)=-\infty

De même, on a :

  • \lim_{x \to 3^{-}}\left(x-3\right)=0^{-}
  • \lim_{x \to 3^{+}}\left(x-3\right)=0^{+}
  • \lim_{x \to 3}\dfrac{x^2+3x+4}{x+2}=\dfrac{22}{5}

Par quotient, on peut donc en conclure :

  • \lim_{x \to 3^{-}}f\left(x\right)=-\infty
  • \lim_{x \to 3^{+}}f\left(x\right)=+\infty
Etape 3

Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales

On peut conclure que la droite d'équation x=a_{k} est asymptote verticale à C_{ƒ} dans les trois cas suivants :

  • Si f n'est pas définie à gauche de a_k et \lim_{x \to a_k^{+}}f\left(x\right)=+\infty ou \lim_{x \to a_k^{+}}f\left(x\right)=-\infty
  • Si f n'est pas définie à droite de a_k et \lim_{x \to a_k^{-}}f\left(x\right)=+\infty ou \lim_{x \to a_k^{-}}f\left(x\right)=-\infty
  • Si f est définie à gauche et à droite de a_k et les limites de f à droite et à gauche de a_k sont infinies (mais pas forcément égales).

f est définie à droite et à gauche de −2 et les limites à droite et à gauche de f en −2 sont infinies.

De même, f est définie à droite et à gauche de 3 et les limites à droite et à gauche de f en 3 sont infinies.

On peut donc conclure que les droites d'équation x=-2 et x=3 sont asymptotes verticales à C_{f}.