Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{\sin\left(x\right)}{x}
La fonction sinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \sin\left(x\right) \leq 1
Ainsi, pour tout nombre réel x strictement positif :
\dfrac{-1}{x}\leq \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} \leq \dfrac{1}{x}
Or :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{-1}{x}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x}=0
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{\sin\left(x\right)}{x}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{1-\cos\left(2x\right)}{x}+3
La fonction cosinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \cos\left(2x\right) \leq 1
Ainsi, pour tout nombre réel x non nul :
-1\leq -\cos\left(2x\right)\leq 1
En ajoutant 1 à chaque membre de cet encadrement, on obtient :
0\leq 1-\cos\left(2x\right)\leq 2
Comme x\to -\infty , on peut considérer que dans un voisinage de -\infty , x<0, et ainsi \dfrac{1}{x}<0. En multipliant chaque membre de l'encadrement précédent par \dfrac{1}{x}, on inverse le sens des inégalités et on obtient :
0\geq \dfrac{1-\cos\left(2x\right)}{x}\geq \dfrac{2}{x}
En ajoutant finalement 3, on obtient :
3\geq \dfrac{1-\cos\left(2x\right)}{x}+3 \geq \dfrac{2}{x}+3
Or :
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{x}+3=3
- \lim\limits_{x\to -\infty }3=3
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{1-\cos\left(2x\right)}{x}+3=3
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{\cos\left(2x\right)-4x}{x+3}
La fonction cosinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \cos\left(2x\right) \leq 1
Ainsi, on a :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \cos\left(2x\right)-4x=-\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty } x+3=+\infty
On est donc en présence d'une forme indéterminée du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on va procéder en deux étapes :
Encadrement de \dfrac{\cos\left(2x\right)-4x}{x+3}
On sait que :
-1\leq \cos\left(2x\right) \leq 1
Comme x\to +\infty , au voisinage de +\infty , x>0.
Ainsi, on a :
-1-4x\leq\cos\left(2x\right)-4x\leq1-4x
De plus, x+3>0, et donc \dfrac{1}{x+3}\gt0.
On a finalement l'encadrement :
\dfrac{-1-4x}{x+3}\leq\dfrac{\cos\left(2x\right)-4x}{x+3}\leq\dfrac{1-4x}{x+3}.
Limite de \dfrac{\cos\left(2x\right)-4x}{x+3}
On a :
\dfrac{-1-4x}{x+3}=\dfrac{x\left(-\dfrac{1}{x}-4\right)}{x\left(1+\dfrac{3}{x}\right)}=\dfrac{-\dfrac{1}{x}-4}{1+\dfrac{3}{x}}
Or :
- \lim\limits_{x\to +\infty }-\dfrac{1}{x}-4=-4
- \lim\limits_{x\to +\infty }1+\dfrac{3}{x}=1
Donc par quotient :
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{-\dfrac{1}{x}-4}{1+\dfrac{3}{x}}=-4
De la même manière, on démontre que :
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1-4x}{x+3}=-4
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{\cos\left(2x\right)-4x}{x+3}=-4
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{\cos\left(x\right)-x}
La fonction cosinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \cos\left(x\right) \leq 1
Ainsi :
-1-x\leq \cos\left(x\right)-x \leq 1-x
Et ainsi, en passant à l'inverse (et en changeant donc le sens des inégalités) :
\dfrac{1}{1-x}\leq \dfrac{1}{\cos\left(x\right)-x} \leq \dfrac{1}{-1-x}
En multipliant par 2, on obtient :
\dfrac{2}{1-x}\leq \dfrac{2}{\cos\left(x\right)-x} \leq \dfrac{2}{-1-x}
Or :
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{1-x}=0
- \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{-1-x}=0
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2}{\cos\left(x\right)-x}=0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{x}{\sin\left(3x\right)-3x}
La fonction sinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \sin\left(3x\right) \leq 1
Ainsi :
-1-3x\leq \sin\left(3x\right)-3x \leq 1-3x
Et ainsi, en passant à l'inverse (et en changeant le sens des inégalités) :
\dfrac{1}{1-3x}\leq \dfrac{1}{\sin\left(3x\right)-3x} \leq \dfrac{1}{-1-3x}
En multipliant par x (avec x<0 au voisinage de -\infty ), on obtient :
\dfrac{x}{-1-3x}\leq \dfrac{x}{\sin\left(3x\right)-3x} \leq \dfrac{x}{1-3x}
Or :
- \dfrac{x}{1-3x}=\dfrac{x}{x\left(\dfrac{1}{x}-3\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}-3}. Ainsi, comme \lim\limits_{x\to-\infty }\dfrac{1}{x}-3=-3, en passant à l'inverse on obtient \lim\limits_{x\to-\infty }\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}-3}=-\dfrac{1}{3}.
- De la même manière on obtient \lim\limits_{x\to-\infty }\dfrac{x}{-1-3x}=-\dfrac{1}{3}.
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{x}{\sin\left(3x\right)-3x}=-\dfrac{1}{3}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x-1}{2x-3\cos\left(3x\right)}
La fonction cosinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \cos\left(3x\right) \leq 1
Ainsi :
3\geq -3\cos\left(3x\right) \geq -3
Et on a :
2x+3\geq 2x-3\cos\left(3x\right) \geq 2x-3
En passant à l'inverse :
\dfrac{1}{2x+3}\leq \dfrac{1}{2x-3\cos\left(3x\right)} \leq \dfrac{1}{2x-3}
On multiplie par 2x-1 (le sens des inégalités ne change pas car 2x-1>0 au voisinage de +\infty ), on obtient :
\dfrac{2x-1}{2x+3}\leq \dfrac{2x-1}{2x-3\cos\left(3x\right)} \leq \dfrac{2x-1}{2x-3}
Or :
- \dfrac{2x-1}{2x+3}=\dfrac{x\left(2-\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}=\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{3}{x}}. Ainsi, comme \lim\limits_{x\to+\infty }2-\dfrac{1}{x}=2 et que \lim\limits_{x\to+\infty }2+\dfrac{3}{x}=2, par quotient on obtient \lim\limits_{x\to+\infty }\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{3}{x}}=1.
- De la même manière on obtient \lim\limits_{x\to+\infty }\dfrac{2x-1}{2x-3}=1.
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2x-1}{2x-3\cos\left(3x\right)}=1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x-\cos\left(x\right)}{3x+1}
La fonction cosinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \cos\left(x\right) \leq 1
Ainsi :
-1\leq -\cos\left(x\right) \leq 1
Et :
2x-1\leq 2x-\cos\left(x\right) \leq 2x+1
Or, au voisinage de -\infty , \dfrac{1}{3x+1}<0 et ainsi en multipliant par \dfrac{1}{3x+1}, on obtient :
\dfrac{2x+1}{3x+1}\leq \dfrac{2x-\cos\left(x\right)}{3x+1} \leq \dfrac{2x-1}{3x+1}
Or :
- \dfrac{2x-1}{3x+1}=\dfrac{x\left(2-\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(3+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{3+\dfrac{1}{x}}. Ainsi, comme \lim\limits_{x\to-\infty }2-\dfrac{1}{x}=2 et que \lim\limits_{x\to-\infty }3+\dfrac{1}{x}=3, par quotient on obtient \lim\limits_{x\to-\infty }\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{3+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{2}{3}.
- De la même manière on obtient \lim\limits_{x\to-\infty }\dfrac{2x+1}{3x+1}=\dfrac{2}{3}.
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{2x-\cos\left(x\right)}{3x+1}=\dfrac{2}{3}