On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{3\} par f\left(x\right)=\dfrac{2x+4}{3-x}.
Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?
Si \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale, elle a nécessairement pour équation x = 3 (car 3 est la valeur interdite de f)
\mathcal{C}_f admet une asymptote verticale si et seulement si \lim\limits_{x\to 3} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x\to 3} f\left(x\right)=-\infty
- Limite en 3^- :
On a \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(2x+4\right)=10 et \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(3-x\right)=0^{+}, donc par quotient \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=+\infty.
- Limite en 3^{+} :
On a \lim\limits_{x\to 3^{+}} \left(2x+4\right)=10 et \lim\limits_{x\to 3^{+}}\left(3-x\right)=0^{-}, donc par quotient \lim\limits_{x\to 3^{+}} \left(\dfrac{2x+4}{3-x}\right)=-\infty.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=3.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-5\} par f\left(x\right)=\dfrac{3-4x}{5+x}.
Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?
Si \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale, elle a nécessairement pour équation x = -5 (car -5 est la valeur interdite de f)
\mathcal{C}_f admet une asymptote verticale si et seulement si \lim\limits_{x\to -5} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x\to -5} f\left(x\right)=-\infty.
- Limite en (-5)- : :
On a \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{-}} \left(x+5\right)=0^- et \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{-}} \left(3-4x\right)=23, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{-}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=-\infty.
- Limite en \left(-5\right)^{+} :
On a \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{+}} \left(5+x\right)=0^+ et \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{+}} \left(3-4x\right)=23, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-5\right)^{+}} \left(\dfrac{3-4x}{5+x}\right)=+\infty.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-5.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-1\} par f\left(x\right)=1+x-\dfrac{2}{1+x}.
Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?
Si \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale, elle a nécessairement pour équation x = -1 (car -1 est la valeur interdite de f)
\mathcal{C}_f admet une asymptote verticale si et seulement si \lim\limits_{x\to -1} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x\to -1} f\left(x\right)=-\infty
- Limite en \left(-1\right)^- :
On a \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}} \left(1+x\right)=0^-, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}}\left( -\dfrac{2}{1+x}\right)=+\infty. Ainsi par somme, \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-}f\left(x\right)=+\infty.
- Limite en \left(-1\right)^{+} :
On a \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{+}} \left(1+x\right)=0^+, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{+}} \left(-\dfrac{2}{1+x}\right)=-\infty. Ainsi par somme, \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}f\left(x\right)=-\infty.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-1.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-2;2\} par f\left(x\right)=\dfrac{3}{x^2-4}.
\mathcal{C}_f admet-elle des asymptotes verticales ?
Si \mathcal{C}_f admet des asymptotes verticales, elles ont nécessairement pour équations x = -2 et x = 2 (car -2 et 2 sont les valeurs interdites de f)
- Limite en -2 :
On a \lim\limits_{x\to \left(-2\right)^{-}} \left(x^2-4\right)=0^+, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-2\right)^{-}} \left(\dfrac{3}{x^2-4}\right)=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to \left(-2\right)^{+}}\left( \dfrac{3}{x^2-4}\right)=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x = -2.
- Limite en 2 :
On a \lim\limits_{x\to 2^{-}} \left(x^2-4\right)=0^-, donc par quotient \lim\limits_{x\to 2^{-}} \left(\dfrac{3}{x^2-4}\right)=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to 2^{+}} \left(\dfrac{3}{x^2-4}\right)=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x = 2.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet comme asymptotes verticales les droites d'équation x = -2 et x = 2.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-1;2\} par f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{x^2-x-2}.
\mathcal{C}_f admet-elle des asymptotes verticales ?
Si \mathcal{C}_f admet des asymptotes verticales, elles ont nécessairement pour équations x = -1 et x = 2 (car -1 et 2 sont les valeurs interdites de f)
- Limite en -1 :
On a \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}}\left( x^2-x-2\right)=0^+ et \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-} \left(3x+1\right)=-2, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{-}} \left(\dfrac{3x+1}{x^2-x-2}\right)=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to \left(-1\right)^{+}} \left(\dfrac{3x+1}{x^2-x-2}\right)=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x = -1.
- Limite en 2 :
On a \lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( x^2-x-2\right)=0^- et \lim\limits_{x\to2^-}\left(3x+1\right)=7, donc par quotient \lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( \dfrac{3x+1}{x^2-x-2}\right)=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to 2^{+}}\left( \dfrac{3x+1}{x^2-x-2}\right)=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x = 2.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet comme asymptotes verticales les droites d'équation x = -1 et x = 2.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac75\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-4}{5x+7}.
Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?
Si \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale, elle a nécessairement pour équation x=-\dfrac75 (car -\dfrac75 est la valeur interdite de f)
\mathcal{C}_f admet une asymptote verticale si et seulement si \lim\limits_{x\to -\frac75} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x\to -\frac75} f\left(x\right)=-\infty
- Limite en \left(-\dfrac75\right)^- :
On a \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{-}} \left(5x+7\right)=0^-, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{-}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=+\infty.
- Limite en \left(-\dfrac75\right)^+ :
On a \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{+}}\left( 5x+7\right)=0^+, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-\frac75\right)^{+}} \left(\dfrac{-4}{5x+7}\right)=-\infty.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\dfrac75.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{3}\} par f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}.
Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?
Si \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale, elle a nécessairement pour équation x = -\sqrt{3} (car -\sqrt{3} est la valeur interdite de f)
\mathcal{C}_f admet une asymptote verticale si et seulement si \lim\limits_{x\to -\sqrt{3}} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x\to -\sqrt{3}} f\left(x\right)=-\infty
- Limite en \left(-\sqrt{3}\right)^- :
On a \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^-} \left(\sqrt{3}+x\right)=0^- et \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{-}} \left(-x^2+5\right)=2, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^{-}}\left( \dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=-\infty.
- Limite en \left(-\sqrt{3}\right)^+ :
On a \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^+} \left(\sqrt{3}+x\right)=0^+ et \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^+} \left(-x^2+5\right)=2, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-\sqrt{3}\right)^+} \left(\dfrac{-x^2+5}{\sqrt{3}+x}\right)=+\infty.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=-\sqrt{3}.