L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Si 1 \lt f \left( x \right) \lt 2 alors la fonction a une limite en +\infty comprise entre 1 et 2."
Cette affirmation est fausse.
Un contre-exemple en est la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=|\cos\left(x\right)|+1
La fonction f est bien comprise entre 1 et 2, mais n'a pas de limite en +\infty
Cette affirmation est fausse.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Si \lim\limits_{x\to+\infty }{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to+\infty }{g\left(x\right)}=+\infty , et si g ne s'annule pas au voisinage de +\infty , alors le quotient \dfrac{f}{g} a pour limite 1 en +\infty ."
Cette affirmation est fausse. On obtient un contre-exemple en considérant deux monômes f et g de degrés différents.
Par exemple, si f\left(x\right)=x^4 et si g\left(x\right)=x^5, alors \dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{x^4}{x^5}=\dfrac{1}{x} et \lim\limits_{x\to +\infty }{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim\limits_{x\to +\infty }{\dfrac{1}{x}}=0
Cette affirmation est fausse.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}. Si \lim\limits_{x\to+\infty }{f\left(x\right)}=+\infty , alors f\left(x\right)>0 au voisinage de +\infty ."
Cette affirmation est vraie. En effet, en reprenant la définition, dire que \lim\limits_{x\to+\infty }{f\left(x\right)}=+\infty revient à dire que pour tout A\in\mathbb{R}, il existe x_0 dans un voisinage de +\infty tel que f\left(x\right)>A. Vu que cette définition est valable POUR TOUT A, il suffit de choisir A=0 pour avoir le résultat.
Cette affirmation est vraie.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Si f et g sont deux fonctions telles que \lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty et \lim\limits_{x\to +\infty } g\left(x\right)=-\infty , alors la somme f+g a pour limite 0 en +\infty ."
Cette affirmation est fausse. Considérer f définie par f\left(x\right)=x^2 et g définie par g\left(x\right)=-x. La fonction f+g est définie par \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x^2-x.
Cette dernière fonction a pour limite +\infty en +\infty .
Cette affirmation est fausse.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}. Si \lim\limits_{x\to a}{f\left(x\right)}=+\infty , alors \lim\limits_{x\to a} -2f\left(x\right)=-\infty ."
Cette affirmation est vraie. En effet, pour tout réel M, il existe un voisinage de a tel que pour tout réel x de ce voisinage, f\left(x\right)>M. En multipliant la dernière inégalité par -2, il vient -2f\left(x\right)\lt-2M, sous les mêmes conditions que précédemment.
Donc on a bien \lim\limits_{x\to a} -2f\left(x\right)=-\infty .
Cette affirmation est vraie.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Si une fonction f a pour limite 2 en +\infty , alors f\left(x\right)<3 pour tout x."
Cette affirmation est fausse. Considérer la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+2. On a bien \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x}=0 donc \lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=2, et pourtant f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}+2=4 et 4 \gt 3.
Cette affirmation est fausse.
L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
"Si f et g sont deux fonctions telles que \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = 1 et si \lim\limits_{x\to 1} g\left(x\right)=+\infty , alors \lim\limits_{x\to 1} f\left(x\right)=+\infty ."
Cette affirmation est vraie. Vu que \lim\limits_{x\to1} g\left(x\right) = +\infty , on peut supposer que pour x assez grand, g\left(x\right)>0. Ainsi, pour tout x dans ce voisinage, il suffit d'écrire f\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\times g\left(x\right). Vu qu'il n'y a aucune forme indéterminée, on obtient par produit \lim\limits_{x\to1} f\left(x\right) = +\infty .
Cette affirmation est vraie.