Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{\sqrt{x}}
On est en présence d'une forme indéterminée du type " \dfrac{0}{0} ". Pour lever cette indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par la quantité conjuguée du numérateur. Ainsi :
Pour tout réel x \gt 0, \dfrac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{\sqrt{x}}\times \dfrac{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}}=\dfrac{\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\right)}.
On remarque que dans le dernier membre une identité remarquable du type \left(a-b\right)\left(a+b\right), avec a et b deux nombres réels.
Or, pour tous réels a et b, on a \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, et ainsi :
\dfrac{\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{x+5-5}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}}
Or, \lim\limits_{x\to 0} \sqrt{x}=0 et \lim\limits_{x\to 0} \sqrt{x+5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}, donc par quotient :
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{\sqrt{x}}=0.
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } 2x-\sqrt{x^2+1}
On est en présence d'une forme indéterminée du type " +\infty -\infty ". Pour lever cette indétermination, on transforme cette expression. On a :
2x-\sqrt{x^2+1}=2x-\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=2x-|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}.
Or, au voisinage de +\infty , x>0, donc |x|=x. Ainsi :
2x-\sqrt{x^2+1}=2x-|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=2x-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=x\left(2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right).
Or, \lim\limits_{x\to +\infty } 1+\dfrac{1}{x^2}=1. En posant X=1+\dfrac{1}{x^2}, on obtient \lim\limits_{x\to 1} \sqrt{X} =1, donc par composition : \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=1.
Donc par somme, \lim\limits_{x\to +\infty } 2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=1.
De plus \lim\limits_{x\to +\infty } x = +\infty .
Donc finalement par produit, \lim\limits_{x\to +\infty } x\left(2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)=+\infty .
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } 2x-\sqrt{x^2+1}=+\infty .
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}-x+2
On est en présence d'une forme indéterminée du type " +\infty -\infty ". Pour lever cette indétermination, on utilise la quantité conjuguée de cette expression. On a :
\sqrt{x^2-4x}-x+2=\dfrac{\left(\sqrt{x^2-4x}-x+2\right)\left(\sqrt{x^2-4x}+x-2\right)}{\sqrt{x^2-4x}+x-2}
=\dfrac{x^2-4x-\left(x-2\right)^2}{\sqrt{x^2-4x}+x-2}=\dfrac{x^2-4x-\left(x^2-4x+4\right)}{\sqrt{x^2-4x}+x-2}
=\dfrac{x^2-4x-x^2+4x-4}{\sqrt{x^2-4x}+x-2}=\dfrac{-4}{\sqrt{x^2-4x}+x-2}.
On a :
- x^2-4x=x^2\left(1-\dfrac{4}{x}\right). Or \lim\limits_{x\to+\infty } 1-\dfrac{4}{x}=1 et \lim\limits_{x\to +\infty } x^2=+\infty , donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x^2\left(1-\dfrac{4}{x}\right)=+\infty .
- On pose X=x^2-4x. Ainsi, on a \lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X}=+\infty , donc par composition \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}=+\infty .
- De plus \lim\limits_{x\to +\infty } x-2=+\infty .
Donc par somme \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}+x-2=+\infty .
et \lim\limits_{x\to +\infty } -4=-4.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{-4}{\sqrt{x^2-4x}+x-2}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}-x+2=0.
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}+x-2
On a :
- x^2-4x=x^2\left(1-\dfrac{4}{x}\right). Or \lim\limits_{x\to+\infty } 1-\dfrac{4}{x}=1 et \lim\limits_{x\to +\infty } x^2=+\infty , donc par produit \lim\limits_{x\to +\infty } x^2\left(1-\dfrac{4}{x}\right)=+\infty .
- On pose X=x^2-4x. Ainsi, on a \lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X}=+\infty , donc par composition \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}=+\infty .
- De plus \lim\limits_{x\to +\infty } x-2=+\infty .
Donc par somme \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}+x-2=+\infty .
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2-4x}+x-2=+\infty .
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } -2x-\sqrt{1+4x^2}
On est en présence d'une forme indéterminée du type " +\infty -\infty ". Pour lever cette indétermination, on utilise la quantité conjuguée de cette expression. On a :
-2x-\sqrt{1+4x^2}=\dfrac{\left(-2x-\sqrt{1+4x^2}\right)\left(-2x+\sqrt{1+4x^2}\right)}{-2x+\sqrt{1+4x^2}}
=\dfrac{\left(-2x\right)^2-\left(1+4x^2\right)}{-2x+\sqrt{1+4x^2}}=\dfrac{4x^2-1-4x^2}{-2x+\sqrt{1+4x^2}}
=\dfrac{-1}{-2x+\sqrt{1+4x^2}}.
Or :
- \lim\limits_{x\to -\infty }1+4x^2=+\infty . On pose X=1+4x^2. Ainsi \lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X}=+\infty , donc par composition \lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{1+4x^2}=+\infty .
- De plus \lim\limits_{x\to -\infty } -2x=+\infty .
Donc par somme \lim\limits_{x\to -\infty } -2x+\sqrt{1+4x^2}=+\infty .
et \lim\limits_{x\to -\infty } -1=-1.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{-1}{-2x+\sqrt{1+4x^2}}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to -\infty } -2x-\sqrt{1+4x^2}=0.
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2}}{\sqrt{x-2}}
On est en présence d'une forme indéterminée du type " \dfrac{0}{0} ". Pour lever cette indétermination, on utilise la quantité conjuguée de cette expression. On a :
\dfrac{\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2}}{\sqrt{x-2}}=\dfrac{\left(\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}\right)}{\sqrt{x-2}\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}\right)}
\dfrac{\sqrt{2x+4}^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\sqrt{x-2}\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}\right)}=\dfrac{2x+4-8}{\sqrt{x-2}\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}\right)}
=\dfrac{2x-4}{\sqrt{x-2}\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}\right)}=\dfrac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{x-2}\left(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}\right)}
=\dfrac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}}
Or :
- \lim\limits_{x\to 2} x-2=0. On pose X=x-2. On a \lim\limits_{X\to 0} \sqrt{X}=0, donc par composition \lim\limits_{x\to 2} \sqrt{x-2}=0. Ainsi par produit \lim\limits_{x\to 2} 2\sqrt{x-2}=0.
- De plus \lim\limits_{x\to 2} \sqrt{2x+4}=2\sqrt{2}.
Donc par somme \lim\limits_{x\to 2} \sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to 2} \dfrac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2}}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2}}{\sqrt{x-2}}=0.
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{9x^2+5}-3x
On est en présence d'une forme indéterminée du type " +\infty -\infty ". Pour lever cette indétermination, on utilise la quantité conjuguée de cette expression. On a :
\sqrt{9x^2+5}-3x=\dfrac{\left(\sqrt{9x^2+5}-3x\right)\left(\sqrt{9x^2+5}+3x\right)}{\sqrt{9x^2+5}+3x}
=\dfrac{9x^2+5-\left(3x\right)^2}{\sqrt{9x^2+5}+3x}=\dfrac{9x^2+5-9x^2}{\sqrt{9x^2+5}+3x}
=\dfrac{5}{\sqrt{9x^2+5}+3x}
Or :
- \lim\limits_{x\to +\infty } 9x^2+5=+\infty . On pose X=9x^2+5. On a \lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X}=+\infty , donc par composition \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{9x^2+5}=+\infty .
- De plus \lim\limits_{x\to +\infty } 3x=+\infty .
Donc par somme \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{9x^2+5}+3x=+\infty .
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{5}{\sqrt{9x^2+5}+3x}=0.
On a ainsi \lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{9x^2+5}-3x=0.