Déterminer la limite d'une fonction composée Méthode

Sommaire

1Déterminer la limite de la première fonction 2Effectuer le changement de variable 3Calculer la deuxième limite 4Conclure

On cherche parfois à déterminer la limite en a de la fonction h définie comme la composée de deux fonctions f et g (h=f\circ g), où a représente un réel, +\infty ou -\infty.

Déterminer la limite en +\infty de la fonction h définie par :

\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ h\left( x \right)=e^\dfrac1x

Etape 1

Déterminer la limite de la première fonction

On a h=f\circ g.

On détermine dans un premier temps la limite de g en a.

On sait que :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac1x =0

Etape 2

Effectuer le changement de variable

On pose le changement de variable X=g\left(x\right) dans l'expression de la fonction h.

En posant le changement de variable X=\dfrac1x, on a :

e^{\frac{1}{x}}=e^X

Etape 3

Calculer la deuxième limite

On détermine la limite quand X tend vers b de la fonction f, où b est la limite de la fonction g lorsque x tend vers a.

De plus, on sait que :

\lim_{X \to 0} e^X=1

Etape 4

Conclure

En notant l la limite trouvée précédemment, on peut conclure :

\lim_{x \to a} h\left(x\right)=\lim_{x \to a}f\left(g\left(x\right)\right)=l

On a donc :

\lim_{x \to +\infty} e^{\frac1x}=1