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  4. Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée

Déterminer la limite d'une fonction composée Méthode

Sommaire

1Déterminer la limite de la première fonction 2Effectuer le changement de variable 3Calculer la deuxième limite 4Conclure

On cherche parfois à déterminer la limite en a de la fonction h définie comme la composée de deux fonctions f et g (h=f\circ g), où a représente un réel, +\infty ou -\infty.

Déterminer la limite en +\infty de la fonction h définie par :

\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ h\left( x \right)=e^\dfrac1x

Etape 1

Déterminer la limite de la première fonction

On a h=f\circ g.

On détermine dans un premier temps la limite de g en a.

On sait que :

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac1x =0

Etape 2

Effectuer le changement de variable

On pose le changement de variable X=g\left(x\right) dans l'expression de la fonction h.

En posant le changement de variable X=\dfrac1x, on a :

e^{\frac{1}{x}}=e^X

Etape 3

Calculer la deuxième limite

On détermine la limite quand X tend vers b de la fonction f, où b est la limite de la fonction g lorsque x tend vers a.

De plus, on sait que :

\lim\limits_{X \to 0} e^X=1

Etape 4

Conclure

En notant l la limite trouvée précédemment, on peut conclure :

\lim\limits_{x \to a} h\left(x\right)=\lim\limits_{x \to a}f\left(g\left(x\right)\right)=l

On a donc :

\lim\limits_{x \to +\infty} e^{\frac1x}=1

Voir aussi
  • Cours : Les limites de fonctions
  • Quiz : Les limites de fonctions
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites infinies de fonctions
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de fonctions
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction convergente
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement si une fonction est convergente ou divergente
  • Exercice : Conjecturer graphiquement la limite d'une fonction
  • Exercice : Connaître la convergence des fonctions usuelles
  • Exercice : Démontrer la croissance comparée des fonctions puissance entière et exponentielle en +infini
  • Exercice : Déterminer la limite d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction carré composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction puissance entière composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction racine carré composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction inverse composée par une fonction affine
  • Exercice : Déterminer la limite d'une fonction exponentielle composée par une fonction affine
  • Exercice : Compléter le tableau de convergence d'une somme de fonctions
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer la limite d'une somme de fonctions usuelles composées initialement sous forme indéterminée
  • Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un produit de fonctions
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer la limite d'un produit de fonctions usuelles composées initialement sous forme indéterminée
  • Exercice : Compléter le tableau de convergence d'un quotient de fonctions
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de fonctions composées
  • Exercice : Déterminer la limite d'un quotient de fonctions composées initialement sous forme indéterminée
  • Exercice : Déterminer la limite de plusieurs opérations de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la limite de plusieurs opérations de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer la limite de plusieurs opérations de fonctions composées initialement sous forme indéterminée
  • Exercice : Déduire une limite d'une asymptote horizontale
  • Exercice : Déduire une limite d'une asymptote verticale
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes horizontales
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes verticales
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes horizontales d'une fonction usuelle
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes verticales d'une fonction usuelle
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes horizontales de plusieurs opérations de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer graphiquement les asymptotes verticales de plusieurs opérations de fonctions usuelles composées
  • Exercice : Déterminer une limite d'une fonction complexe à l'aide d'une majoration
  • Exercice : Déterminer une limite d'une fonction complexe à l'aide d'une minoration
  • Exercice : Déterminer une limite d'une fonction complexe à l'aide d'un encadrement
  • Exercice : Déterminer une limite d'une fonction complexe par comparaison de fonctions
  • Exercice : Etudier les limites de plusieurs opérations de fonctions composées initialement sous forme indéterminée
  • Méthode : Déterminer la limite d'une fonction lorsque x tend vers une valeur interdite
  • Méthode : Démontrer qu'une courbe admet une asymptote horizontale
  • Méthode : Démontrer qu'une courbe admet une asymptote verticale
  • Méthode : Etudier la position relative d'une courbe et d'une droite

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