Démontrer qu'une courbe admet une asymptote horizontaleMéthode

La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote horizontale en +\infty et/ou en -\infty. Une même droite peut être asymptote horizontale à la fois en +\infty et -\infty.

On considère la fonction f définie sur \left] 4;+\infty \right[ par :

f\left( x \right)=\dfrac{2x-3}{x-4}

Déterminer les éventuelles asymptotes horizontales de C_{f}.

Etape 1

Déterminer la limite de f en +\infty

On détermine tout d'abord \lim\limits_{x \to +\infty}f\left( x \right).

Pour déterminer la limite de f en +\infty, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré. On a donc :

\forall x\in \left]4;+\infty \right[, f\left( x \right)=\dfrac{x\left( 2-\dfrac{3}{x} \right)}{x\left( 1-\dfrac{4}{x} \right)}=\dfrac{2-\dfrac{3}{x} }{ 1-\dfrac{4}{x} }

Or :

  • \lim\limits_{x \to +\infty}\left(2-\dfrac{3}{x}\right)=2
  • \lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\dfrac{4}{x}\right)=1

Donc :

\lim\limits_{x \to +\infty}f\left( x \right)=2

Etape 2

Conclure sur l'existence d'une asymptote horizontale

  • Si la limite trouvée est un réel a, on en déduit que la droite d'équation y=a est asymptote horizontale à C_{f} en +\infty.
  • Si la limite trouvée est +\infty ou -\infty, alors C_{f} n'admet pas d'asymptote horizontale en +\infty.

On a :

\lim\limits_{x \to +\infty}f\left( x \right)=2

On en déduit que la droite d'équation y=2 est asymptote horizontale à C_{f} en +\infty.

Etape 3

Répliquer éventuellement le procédé en -\infty

Si le domaine de définition de la fonction le permet, on procède de la même manière pour déterminer l'existence d'une asymptote en -\infty.

La fonction f étant définie sur \left] 4;+\infty \right[, sa courbe représentative ne peut pas admettre d'asymptote horizontale en -\infty.