Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)^3
Quelles sont les limites de f en -\infty et en +\infty ?
Limite de f en -\infty
- On a \lim\limits_{x\to -\infty } \left(x^2-1\right)=+\infty .
- On pose X=x^2-1. Or \lim\limits_{X\to +\infty } X^3=+\infty .
Donc par composition, \lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=+\infty .
Limite de f en +\infty
- On a \lim\limits_{x\to +\infty } \left(x^2-1\right)=+\infty
- On pose X=x^2-1. Or \lim\limits_{X\to +\infty } X^3=+\infty .
Donc par composition \lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty .
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=+\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 5 \right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(5-x\right)^2}
Quelles sont les limites de f en 5+ et en 5- ?
Limite en 5^{+}
- On a \lim\limits_{x\to 5^{+}} \left(5-x\right)^2=0^{+}.
- On pose X=\left(5-x\right)^2. Or \lim\limits_{X\to 0^{+}} \dfrac{1}{X}=+\infty .
Donc par composition \lim\limits_{x\to 5^{+}} \dfrac{1}{\left(5-x\right)^2}=+\infty .
Limite en 5^{-}
- On a \lim\limits_{x\to 5^{-}} \left(5-x\right)^2=0^{+}
- On pose X=\left(5-x\right)^2. Or \lim\limits_{X\to 0^{+}} \dfrac{1}{X}=+\infty .
Donc par composition \lim\limits_{x\to 5^{-}} \dfrac{1}{\left(5-x\right)^2}=+\infty .
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to 5^{+}}f\left(x\right)=+\infty
- \lim\limits_{x\to 5^{-}}f\left(x\right)=+\infty
Soit f la fonction définie sur \left] -\infty; 3 \right] par :
f\left(x\right)=\sqrt{3-x}
Quelle est la limite de f en -\infty ?
- On a \lim\limits_{x\to -\infty } 3-x=+\infty .
- On pose X=3-x. On a \lim\limits_{X\to +\infty } \sqrt{X}=+\infty .
Donc par composition \lim\limits_{x\to-\infty } \sqrt{3-x}=+\infty .
On a ainsi \lim\limits_{x\to-\infty } f\left(x\right)=+\infty .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 3\right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{2}{\left(x-3\right)\,^2}
Quelles sont les limites de f en 3- ?
- On a \lim\limits_{x\to 3^{-}} x-3=0^{-} donc \lim\limits_{x\to 3^{-}} \left(x-3\right)^2=0^{+}.
- On pose X=\left(x-3\right)^2. On a \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{1}{X}=+\infty donc par produit \lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{2}{X}=+\infty .
Donc par composition \lim\limits_{x\to3^-} \dfrac{2}{\left(x-3\right)\,^2}=+\infty .
On a ainsi \lim\limits_{x\to3^-}f\left(x\right)=+\infty .
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= \left(\left(x+3\right)\left(x-2\right)\right)\,^2
Quelle est la limite de f en -\infty ?
- On a \lim\limits_{x\to -\infty} \left(x+3\right)=-\infty.
- On a de plus \lim\limits_{x\to -\infty}\left(x-2\right)=-\infty.
- Par produit, on a \infty\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x+3\right)\left(x-2\right)=+\infty.
On pose X=\left(x+3\right)\left(x-2\right). On a \lim\limits_{X\to+\infty}X^2=+\infty.
Donc par composition \lim\limits_{x\to-\infty} \left(\left(x+3\right)\left(x-2\right)\right)\,^2=+\infty.
On a ainsi \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(x^2+3\right)^2}
Quelles sont les limites de f en -\infty et en +\infty ?
Limite de f en -\infty
- On a \lim\limits_{x\to -\infty } x^2+3=+\infty .
- On pose X=x^2+3. Or \lim\limits_{X\to +\infty } X^2=+\infty et en passant à l'inverse, \lim\limits_{X\to +\infty } \dfrac{1}{X^2}=0^{+}
Donc par composition \lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=0^{+}.
Limite de f en +\infty
- On a \lim\limits_{x\to +\infty } x^2+3=+\infty .
- On pose X=x^2+3. Or \lim\limits_{X\to +\infty } X^2=+\infty et en passant à l'inverse, \lim\limits_{X\to +\infty } \dfrac{1}{X^2}=0^{+}
Donc par composition \lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0^{+}.
On a ainsi :
- \lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=0^{+}
- \lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0^{+}