Vecteurs Cours

Sommaire

IDéfinitions et notationsADéfinition d'un vecteurBVecteurs égauxCNormeDLien avec la translationEVecteur nulIICalculs avec les vecteursAOpposé d'un vecteurBSomme de deux vecteursCRelation de ChaslesDProduit par un réelEColinéarité de deux vecteurs1Définition2Caractérisation de la colinéaritéIIIVecteurs dans un repèreARepère du plan1Repère2Base orthonorméeBCoordonnées1Coordonnées d'un vecteur2Coordonnées d'un vecteur3Somme de vecteurs4Produit d'un vecteur par un réel5Milieu d'un segmentCColinéarité et déterminantDCalcul de la norme
I

Définitions et notations

A

Définition d'un vecteur

Soient A et B deux points du plan.

Le vecteur \overrightarrow{AB}  est défini par :

  • sa direction : celle de la droite (AB)  ;
  • son sens : il va de A vers B  ;
  • sa norme : c'est la longueur AB du segment [AB].
-

Le vecteur \overrightarrow{AB} est associé à la translation qui transforme A en B.

On confond parfois la direction et le sens d'un vecteur. 

La direction est celle de la droite qui porte le vecteur. 

Tandis que le sens détermine le point de départ et le point d'arrivée, c'est indiqué par la pointe de la flèche. Autrement dit le sens est celui dans lequel on parcours la droite.

B

Vecteurs égaux

Contrairement à un point, un vecteur n'est pas fixe dans le plan. Tant que l'on garde la même direction, le même sens et la même norme, c'est le même vecteur.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont :

  • le même sens ;
  • la même direction ;
  • la même norme.

Deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont égaux si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

-

Dans ce cas, les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BD} sont aussi égaux.

Il arrive qu'un vecteur ne soit pas relié à deux points que l'on connaît et que l'on peut nommer.

Dans ce cas, on utilise une lettre surmontée d'une flèche pour désigner le vecteur.

-

Sur le schéma ci-dessus, les vecteurs  \overrightarrow{u}  et  \overrightarrow{AB} sont égaux, car ils ont la même direction, la même longueur, et le même sens.

C

Norme

\Vert\overrightarrow{u}\Vert  désigne la norme du vecteur \overrightarrow{u}.

Pour tous points A et B\Vert\overrightarrow{AB}\Vert=AB.

D

Lien avec la translation

On a vu au collège que la translation qui transforme A en B consiste à faire glisser chaque point d'une figure dans la même direction, dans le même sens et de la même distance que pour passer de A à B.

Le triangle C'D'E' est l'image du triangle CDE par la translation qui transforme A en B.

-

On dit que cette translation est la translation de vecteur  \overrightarrow{AB}.

On a  \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{AB}.

Translation de vecteur

La translation de vecteur \overrightarrow{AB} est la translation qui à tout point M associe le point M' tel que \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}.

E

Vecteur nul

Vecteur nul

Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul et noté \overrightarrow{0}.

Quel que soit le point A du plan, on a  \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}, donc  \overrightarrow{AA}  est un vecteur nul. 

Le vecteur nul est le seul vecteur qui n'a ni sens ni direction.

II

Calculs avec les vecteurs

A

Opposé d'un vecteur

Opposé d'un vecteur

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan.

L'opposé du vecteur \overrightarrow{u}  est un vecteur qui a même direction et même norme que le vecteur \overrightarrow{u}  mais de sens contraire.

On le note -\overrightarrow{u}.

Soient A et B deux points du plan. 

Le vecteur  \overrightarrow{BA}  est l'opposé du vecteur \overrightarrow{AB}.

On note  \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.

B

Somme de deux vecteurs 

Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux translations. Ainsi :

Soient \overrightarrow{u}  et \overrightarrow{v} deux vecteurs du plan.

Faire la translation de vecteur \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} revient à enchaîner la translation de  \overrightarrow{u} et la translation de vecteur  \overrightarrow{v}.

-

Pour en savoir plus sur le tracé de la somme de deux vecteurs, on se reportera aux méthodes.

-
C

Relation de Chasles

Relation de Chasles

Soient A et B deux points du plan.

Quel que soit le point M du plan, on a :  \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}.

Sur la figure suivante :

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}

-
D

Produit par un réel

Le produit d'un vecteur par un nombre réel est encore un vecteur.

Multiplier un vecteur par un nombre réel k non nul :

  • ne change pas sa direction ;
  • multiplie sa norme par |k| ;
  • change son sens si k \lt 0, conserve le sens si k \gt 0.

Pour plus d'informations sur la valeur absolue |k| du nombre réel k, on se reportera au chapitre « Droite des réels et valeur absolue ».

\overrightarrow{CD}=2\times\overrightarrow{AB}

-

Les vecteurs \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB} ont :

  • la même direction : les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;
  • le même sens car on multiplie par un nombre positif ;

\overrightarrow{CD}=2\times AB

\overrightarrow{CD}=-2\times\overrightarrow{AB}

-

Les vecteurs \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AB}  ont :

  • la même direction : les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;
  • le même sens car on multiplie par un nombre positif.

\overrightarrow{CD}=|-2|\times AB=2\times AB

E

Colinéarité de deux vecteurs

1

Définition

Vecteurs colinéaires

On dit que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Sur le schéma ci-dessous, les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{w} sont colinéaires.

Ils n'ont pas forcément la même norme (longueur) ni le même sens et ne sont pas positionnés sur la même droite, mais ils ont la même direction. 

-

Soient A, B, C et D des points du plan.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Soient A, B, C et D des points du plan.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires si et seulement si les points A, B et C sont alignés.

En effet, les vecteurs  \overrightarrow{AB }  et \overrightarrow{AC } sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Or elles sont un point commun qui est A.

Donc si (AB) et (AC) sont parallèles, alors elles sont confondues et les trois points sont alignés.

2

Caractérisation de la colinéarité

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs.

\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que  \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}.

Soient \overrightarrow{u}  et \overrightarrow{v} deux vecteurs tels que \overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}.

Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

III

Vecteurs dans un repère

A

Repère du plan

1

Repère

Soient O un point du plan et \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} des vecteurs du plan non colinéaires.

O\overrightarrow{i}  et \overrightarrow{j}  définissent un repère du plan noté (O;i;j).

-
2

Base orthonormée

Base orthonormée

On appelle base orthonormée un couple de deux vecteurs (\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})  du plan tels que :

  • \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}  ont des directions orthogonales ;
  • \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}  ont la même norme.
Repère orthonormée

Un repère  (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})  tel que les vecteurs \overrightarrow{i} et  \overrightarrow{j}  forment une base orthonormée est appelé un repère orthonormé.

-
B

Coordonnées

On se placera toujours dans un repère orthonormé, même si la plupart des résultats énoncés sont aussi valables dans d'autres repères.

1

Coordonnées d'un vecteur

Soient  \overrightarrow{u}  un vecteur du plan et (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}) un repère orthonormé du plan.
Il existe un unique couple de réels (x;y) tels que :

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{xi}+\overrightarrow{yi}  

On appelle ce couple (x;y) les coordonnées de \overrightarrow{u}  dans le repère (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} ).

  • x est l'abscisse de \overrightarrow{u}.
  • y est l'ordonnée de \overrightarrow{u}.

 

On notera   \overrightarrow{u}(xy).

-

Dire que les coordonnées de \overrightarrow{u} sont (5;-2) veut dire que \overrightarrow{u}=5\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}.

-

Les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{u} sont parfois notées \overrightarrow{u}(x;y).

2

Coordonnées d'un vecteur

Soient un point M du plan et O;i;j un repère orthonormé du plan.
Il existe un unique couple de réels (x;y) tels que :

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{xi}+\overrightarrow{yj}

On appelle ce couple (x;y) les coordonnées de M dans le repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

x est l'abscisse de M et y est son ordonnée.

Dans un repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) si \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j} alors les coordonnées de A sont (2;3).

-

Les coordonnées d'un point M sont les mêmes que celles du vecteur \overrightarrow{OM}, où O est l'origine du repère.

3

Somme de vecteurs

Soient \overrightarrow{u}(x;y)  et \overrightarrow{v}(x';y') deux vecteurs du plan.

Soient \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.

Pour obtenir les coordonnées de  \overrightarrow{w}, on additionne les coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} :

\overrightarrow{w}(x+x'y+y')

Soient \overrightarrow{u}(4;3) et \overrightarrow{v}(3;-2) des vecteurs du plan.

Le vecteur \overrightarrow{u+v} a pour coordonnées  (4+3; 3+(−2)), c'est-à-dire (7;1).

-
4

Produit d'un vecteur par un réel

Soit \overrightarrow{u}(x;y) un vecteur du plan.

Soit k un nombre réel.

Pour obtenir les coordonnées du vecteur k\overrightarrow{u}  on multiplie chaque coordonnée de  \overrightarrow{u} par k.

Autrement dit, les coordonnées du vecteur k\overrightarrow{u}  sont  (kx;ky).

Soit \overrightarrow{u}(4;3)  un vecteur du plan.

Le vecteur 2\overrightarrow{u} a pour coordonnées  (24; 23), c'est-à-dire (8;6).

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Soient \overrightarrow{u}(4;3) et \overrightarrow{v}(8;6) deux vecteurs du plan.

\overrightarrow{u}  et \overrightarrow{v}  sont colinéaires car \dfrac{8}{4}=\dfrac{6}{2}=2.

5

Milieu d'un segment

Soient A(x_{a};y_{a}) et B(x_{b};y_{b}) des points du plan.

Soit I(x_{I};y_{I}) le milieu du segment [AB].

I a pour coordonnées :

x_{1}=\dfrac{x_{a}+x_{b}}{2} et  y_{1}=\dfrac{y_{a}+y_{b}}{2}

Soient  A(2;3)  et  B(4;1)  des points du plan.

Soit I du segment [AB] ayant pour coordonnées :

x_{1}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3  et   y_{1}=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2

Les coordonnées de I sont  (3;2).

-

On peut utiliser les vecteurs pour démontrer ce résultat déjà connu. Sur la figure suivante,  OACB est un parallélogramme de centre I et on a  \overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB)}  d'où la formule donnant les coordonnées du milieu I.

-
C

Colinéarité et déterminant

Déterminant de deux vecteurs

Soient deux vecteurs \overrightarrow{u}(x;y) et \overrightarrow{v}(x';y').

On appelle déterminant de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}  le nombre xy'−x'y.

On note :

det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-x'y

Pour se rappeler de la formule du déterminant on peut utiliser la notation suivante :

det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-x'y

On calcule le produit des éléments de la 1re diagonale et on lui soustrait le produit des éléments de la seconde diagonale.

Soient deux vecteurs \overrightarrow{u}(3;4)  et \overrightarrow{v}(2;1).

det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=31−42=3−8=−5

Deux vecteurs \overrightarrow{u}(x;y) et \overrightarrow{v}(x';y') sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, c'est-à-dire det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=xy'-x'y=0.

Soient deux vecteurs \overrightarrow{u}(x;y) et \overrightarrow{v}(x';y')  non nuls.

On sait que \overrightarrow{u}  et  \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k non nul tel que \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}.

Or, si \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}, alors x=kx' y=ky' donc xy=x\times ky'=k\times x'y.

Comme k est non nul, x\times ky'=k\times x'y \Leftrightarrow xy'=x'y \Leftrightarrow xy'−x'y=0.

Soient deux vecteurs  \overrightarrow{u}(3;4)  et  \overrightarrow{v}(6;8).

det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=8−46=24−24=0

Donc \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Soient deux vecteurs  \overrightarrow{u}(3;4)  et  \overrightarrow{v}(2;1).

det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=8−46=24−24=0

Donc \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

D

Calcul de la norme

Soit (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}) un repère orthonormé.

Soit \overrightarrow{u}(x;y) un vecteur du plan.

\left\| u\right\|=\sqrt{x^2+y^2}

Cette propriété n'est vraie que si le repère est orthonormé.

On utilise le théorème de Pythagore.

Comme le repère est orthonormé, en traçant les vecteurs \overrightarrow{xi}  (pour les abscisses) et \overrightarrow{yi} (pour les ordonnées) et \overrightarrow{u} comme sur le schéma ci-dessous, on obtient un triangle rectangle dont les côtés ont pour longueur x, y et ‖u‖.

-

D'après le théorème de Pythagore, on a donc :

\left\| u \right\|^2=x^2+y^2

Et comme toutes les distances sont positives, on peut en déduire que : 

\left\| u \right\|=\sqrt{x^2+y^2}

Soit  \overline{u}(5;3) un vecteur.

\left\| u\right\|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+6}=\sqrt{31}