Déterminer les coordonnées d'un point pour respecter une égalité vectorielle Méthode

Sommaire

1Nommer les coordonnées du point inconnu 2Ecrire l'égalité vectorielle demandée 3Écrire les coordonnées des vecteurs en présence 4En déduire la ou les équation(s) à résoudre 5Résoudre le système 6Conclure

Afin qu'un point respecte une égalité vectorielle, ses coordonnées doivent elles-même être solutions d'équations, que l'on peut déterminer à partir de l'équation vectorielle.

Soit le repère \left(O;I,J\right). On donne les points A\left(2;4\right), B\left(1;-3\right) et C \left(5;-5\right).

Déterminer les coordonnées du point D tel que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Etape 1

Nommer les coordonnées du point inconnu

On donne un nom aux coordonnées du point cherché (en général, x et y)

On pose D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}.

Etape 2

Ecrire l'égalité vectorielle demandée

On écrit l'égalité vectorielle donnée dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, on a :

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

Etape 3

Écrire les coordonnées des vecteurs en présence

On écrit les coordonnées de chacun des vecteurs en présence dans l'équation.

On a :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-2\cr\cr -3-4\end{pmatrix}

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\cr\cr -7\end{pmatrix}

De plus :

\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \cr\cr y_D-y_C\end{pmatrix}

\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-5\cr\cr y-\left(-5\right)\end{pmatrix}

\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-5\cr\cr y+5\end{pmatrix}

Etape 4

En déduire la ou les équation(s) à résoudre

On en déduit les deux équations à résoudre sur les coordonnées des vecteurs.

On en déduit que :

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow\begin{cases} -1 = x-5 \cr \cr -7 = y+5 \end{cases}

Etape 5

Résoudre le système

On résout le système.

On résout le système et on obtient :

\begin{cases} -1 = x-5 \cr \cr -7 = y+5 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 \cr \cr y = -12 \end{cases}

Etape 6

Conclure

On conclut en donnant les coordonnées du point recherché.

On en déduit que le point D a pour coordonnées \left(4;-12\right).