La relation de Chasles permet de simplifier l'expression de certaines sommes de vecteurs.
À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) en fonction des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{NP}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{PB}}\).
Faire apparaître deux vecteurs avec une lettre en commun (fin du 1er et début du 2e)
On fait apparaître deux vecteurs présentant une lettre en commun, de type \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}}\).
On remarque que les vecteurs suivants présentent une lettre en commun (fin du premier vecteur et début du deuxième vecteur) :
- \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{NP}}\)
- \(\displaystyle{\overrightarrow{NP}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{PB}}\)
Appliquer la relation
On applique la relation de Chasles, on obtient :
\(\displaystyle{\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}}\)
D'après la relation de Chasles, on a :
- \(\displaystyle{\overrightarrow{A\color{Red}{N}}+\overrightarrow{\color{Red}{N}P}=\overrightarrow{AP} }\)
- \(\displaystyle{\overrightarrow{A\color{Blue}{P}}+\overrightarrow{\color{Blue}{P}B}=\overrightarrow{AB} }\)
Finalement :
\(\displaystyle{\overrightarrow{A\color{Red}{N}}+\overrightarrow{\color{Red}{N}\color{Blue}{P}}+\overrightarrow{\color{Blue}{P}B}=\overrightarrow{AB} }\)