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Appliquer la relation de Chasles Méthode

La relation de Chasles permet de simplifier l'expression de certaines sommes de vecteurs.

À l'aide de la relation de Chasles, exprimer le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) en fonction des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{NP}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{PB}}\).
Etape 1

Faire apparaître deux vecteurs avec une lettre en commun (fin du 1er et début du 2e)

On fait apparaître deux vecteurs présentant une lettre en commun, de type \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}}\).

On remarque que les vecteurs suivants présentent une lettre en commun (fin du premier vecteur et début du deuxième vecteur) :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AN}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{NP}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{NP}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{PB}}\)
Etape 2

Appliquer la relation

On applique la relation de Chasles, on obtient :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}}\)

D'après la relation de Chasles, on a :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{A\color{Red}{N}}+\overrightarrow{\color{Red}{N}P}=\overrightarrow{AP} }\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{A\color{Blue}{P}}+\overrightarrow{\color{Blue}{P}B}=\overrightarrow{AB} }\)

Finalement :

\(\displaystyle{\overrightarrow{A\color{Red}{N}}+\overrightarrow{\color{Red}{N}\color{Blue}{P}}+\overrightarrow{\color{Blue}{P}B}=\overrightarrow{AB} }\)