Construire un point à l'aide d'égalités vectorielles Méthode

Sommaire

1Ecrire l'égalité demandée 2Transformer l'égalité pour isoler le point 3Tracer un représentant du vecteur du membre de droite 4Placer le point connu 5Tracer un autre représentant du vecteur et en déduire la place du point cherché

Il est possible de construire un point M vérifiant une égalité vectorielle faisant intervenir d'autres points connus.

Soit le repère \left(O;I,J\right). On donne A\left(2;-1\right), B\left(3;5\right) et C\left(-1; 1\right).

Placer le point D tel que \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} =\overrightarrow{BC}.

Etape 1

Ecrire l'égalité demandée

On écrit l'égalité donnée dans l'énoncé.

On a :

\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}

Etape 2

Transformer l'égalité pour isoler le point

On transforme l'égalité pour isoler le point recherché.

Si on cherche à construire le point M et que l'on connaît les points A, B et C, on doit obtenir une égalité du type \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}, avec a \in \mathbb{R} et b\in \mathbb{R}.

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles à cette étape.

On cherche à isoler le point D dans l'égalité précédente. D'après la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{DB} =\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}

Ainsi :

\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}

\Leftrightarrow\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}

\Leftrightarrow2\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}

\Leftrightarrow\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

Etape 3

Tracer un représentant du vecteur du membre de droite

Si on a une égalité du type \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}, on trace un représentant du vecteur a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}.

On trace un représentant du vecteur -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

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Etape 4

Placer le point connu

Si on a une égalité du type \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}, on place le point A.

Le point A est déjà placé.

Etape 5

Tracer un autre représentant du vecteur et en déduire la place du point cherché

On trace un autre représentant du vecteur a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{BC} en partant du point A.

On place finalement le point M à l'extrémité de ce représentant.

On trace un autre représentant du -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} en partant du point A. On place le point D à l'extrémité de ce représentant.

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