Construire un point à l'aide d'égalités vectoriellesMéthode

Il est possible de construire un point M vérifiant une égalité vectorielle faisant intervenir d'autres points connus.

Soit le repère \left(O;I,J\right). On donne A\left(2;-1\right), B\left(3;5\right) et C\left(-1; 1\right).

Placer le point D tel que \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} =\overrightarrow{BC}.

Etape 1

Ecrire l'égalité demandée

On écrit l'égalité donnée dans l'énoncé.

On a :

\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}

Etape 2

Transformer l'égalité pour isoler le point

On transforme l'égalité pour isoler le point recherché.

Si on cherche à construire le point M et que l'on connaît les points A, B et C, on doit obtenir une égalité du type \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}, avec a \in \mathbb{R} et b\in \mathbb{R}.

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles à cette étape.

On cherche à isoler le point D dans l'égalité précédente. D'après la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{DB} =\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}

Ainsi :

\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}

\Leftrightarrow\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}

\Leftrightarrow2\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}

\Leftrightarrow\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

Etape 3

Tracer un représentant du vecteur du membre de droite

Si on a une égalité du type \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}, on trace un représentant du vecteur a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}.

On trace un représentant du vecteur -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

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Etape 4

Placer le point connu

Si on a une égalité du type \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}, on place le point A.

Le point A est déjà placé.

Etape 5

Tracer un autre représentant du vecteur et en déduire la place du point cherché

On trace un autre représentant du vecteur a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{BC} en partant du point A.

On place finalement le point M à l'extrémité de ce représentant.

On trace un autre représentant du -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} en partant du point A. On place le point D à l'extrémité de ce représentant.

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