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  3. Méthode : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogrammeMéthode

Sommaire

1Réciter le cours 2Calculer les coordonnées des vecteurs 3Conclure

On peut démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à l'aide des vecteurs.

Soit le repère \left(O;I,J\right). On considère les points A\left(1;0\right), B\left(-5;-3\right), C \left(-5;-6\right) et D\left(1; -3\right).

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.

Etape 2

Calculer les coordonnées des vecteurs

On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

  • \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \cr\cr y_C-y_D \end{pmatrix}

On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

  • \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -5-1\cr\cr -3-0 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -6\cr\cr -3 \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \cr\cr y_C-y_D \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} -5-1\cr\cr -6-\left(-3\right) \end{pmatrix} donc \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} -6\cr\cr -3 \end{pmatrix}
Etape 3

Conclure

On conclut :

  • Si \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC} alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
  • Sinon le quadrilatère ABCD n'est pas un parallélogramme.

On en déduit que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Voir aussi
  • Cours : Manipuler les vecteurs du plan
  • Quiz : Manipuler les vecteurs du plan
  • Exercice : Décrire un vecteur
  • Exercice : Représenter un vecteur à partir de ses deux extrémités
  • Exercice : Représenter un vecteur à partir des coordonnées de ses deux extrémités
  • Exercice : Construire l'image d'un point par une translation de vecteur donné
  • Exercice : Construire l'image d'une figure par une translation de vecteur donné
  • Exercice : Lire les coordonnées d'un point dans une base orthonormée
  • Exercice : Lire les coordonnées d'un point dans une base orthogonale
  • Exercice : Lire les coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée
  • Exercice : Lire graphiquement les coordonnées d'un vecteur
  • Exercice : Représenter un vecteur à partir de ses coordonnées dans une base de vecteurs donnés
  • Exercice : Déterminer les coordonnées d'un vecteur
  • Exercice : Représenter graphiquement une somme de vecteurs à partir des coordonnées des vecteurs sommés dans une base de vecteurs donnés
  • Exercice : Calculer les coordonnées d'une somme de deux vecteurs
  • Exercice : Calculer les coordonnées du produit d'un vecteur par un réel
  • Exercice : Calculer les coordonnées d'une combinaison linéaire de vecteurs
  • Exercice : Déterminer les coordonnées d'un point pour respecter une égalité vectorielle
  • Exercice : Calculer la norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées
  • Exercice : Calculer la distance entre deux points à l'aide de vecteurs
  • Exercice : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment à l'aide de vecteurs
  • Exercice : Calculer le déterminant de deux vecteurs dans le plan
  • Exercice : Démontrer la colinéarité de deux vecteurs
  • Exercice : Identifier deux vecteurs égaux à l'aide de leur représentation graphique
  • Exercice : Identifier deux vecteurs colinéaires à l'aide de leur représentation graphique
  • Exercice : Associer un vecteur et son opposé à l'aide de leur représentation graphique
  • Exercice : Représenter graphiquement une somme de vecteurs à partir des vecteurs sommés
  • Exercice : Décomposer un vecteur à l'aide de la relation de Chasles
  • Exercice : Donner le vecteur égal à une somme de vecteurs à l'aide de la relation de Chasles
  • Exercice : Simplifier une somme de vecteurs à l'aide de la relation de Chasles
  • Problème : Démontrer une égalité de vecteurs à l'aide de la relation de Chasles
  • Exercice : Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, non colinéaires ou égaux à l'aide de la relation de Chasles
  • Exercice : Déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondues à l'aide de leurs vecteurs directeurs
  • Exercice : Établir l'alignement de trois points à l'aide de vecteurs
  • Exercice : Démontrer l'appartenance d'un point à un cercle à l'aide de vecteurs
  • Problème : Étudier une homothétie à l'aide des vecteurs
  • Méthode : Placer un point dans un repère
  • Méthode : Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé
  • Méthode : Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment
  • Méthode : Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre
  • Méthode : Tracer l'image d'un point par une translation
  • Méthode : Construire un représentant de la somme de deux vecteurs
  • Méthode : Appliquer la relation de Chasles
  • Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur
  • Méthode : Donner les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel
  • Méthode : Tracer un représentant d'un vecteur dans un repère
  • Méthode : Déterminer les coordonnées d'un point pour respecter une égalité vectorielle
  • Méthode : Construire un point à l'aide d'égalités vectorielles
  • Méthode : Montrer que deux vecteurs sont colinéaires

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