Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogrammeMéthode

On peut démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à l'aide des vecteurs.

Soit le repère \left(O;I,J\right). On considère les points A\left(1;0\right), B\left(-5;-3\right), C \left(-5;-6\right) et D\left(1; -3\right).

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.

Etape 2

Calculer les coordonnées des vecteurs

On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

  • \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \cr\cr y_C-y_D \end{pmatrix}

On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

  • \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -5-1\cr\cr -3-0 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -6\cr\cr -3 \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \cr\cr y_C-y_D \end{pmatrix}, soit \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} -5-1\cr\cr -6-\left(-3\right) \end{pmatrix} donc \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} -6\cr\cr -3 \end{pmatrix}
Etape 3

Conclure

On conclut :

  • Si \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC} alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
  • Sinon le quadrilatère ABCD n'est pas un parallélogramme.

On en déduit que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.