Quelle est la valeur exacte de \cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) ?
Quelle est la valeur exacte de \sin\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) ?
Quelle est la valeur exacte de \cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) ?
Quelle est la valeur exacte de \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) ?
Quelle est la valeur exacte de \cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) ?
Quelle est la valeur de \cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) ?
On peut écrire -\dfrac{7\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
-\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{-4\pi}{12} + \dfrac{-3\pi}{12}=-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}
On a donc :
\cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)
On applique la formule d'addition :
\cos\left(a+b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{-\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2}
- cos\left( -\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- sin\left(- \dfrac{\pi}{3} \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left( -\dfrac{\pi}{4} \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On obtient donc :
\cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \left(-\dfrac{\sqrt {2}}{2}\right)
\cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}{4}
Finalement :
\cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}