On considère l'équation suivante :
\left(3x-1\right)^{2}=100
Quelle est la factorisation correcte de \left(3x-1\right)^{2}-100 ?
On remarque que :
\left(3x-1\right)^{2}-100=\left(3x-1\right)^{2}-10^{2}
On reconnaît l'identité remarquable a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right), avec :
- a = 3x-1
- b = 10
On obtient :
\left(3x-1\right)^{2}-10^{2}=\left(\left(3x-1\right)-10\right)\left(\left(3x-1\right)+10\right)
\left(3x-1\right)^{2}-10^{2}=\left(3x-1-10\right)\left(3x-1+10\right)
\left(3x-1\right)^{2}-10^{2}=\left(3x-11\right)\left(3x+9\right)
La forme factorisée de \left(3x-1\right)^{2}-100 est donc : \left(3x-11\right)\left(3x+9\right).
Quelles sont les solutions de l'équation \left(3x-1\right)^{2}=100 ?
On peut modifier l'équation de la façon suivante :
\left(3x-1\right)^{2}-100=0
On a déterminé que :
\left(3x-1\right)^{2}-100=\left(3x-11\right)\left(3x+9\right)
L'équation devient donc :
\left(3x-11\right)\left(3x+9\right)=0
On est en présence d'un produit de facteurs. Or, on sait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs au moins est nul.
Les solutions de l'équation sont toutes les valeurs de x qui annulent l'un des facteurs.
On résout d'abord :
3x-11=0
3x=11
x=\dfrac{11}{3}
On résout ensuite :
3x+9=0
3x=-9
x=\dfrac{-9}{3}
x=-3
L'équation \left(3x-1\right)^{2}=100 admet donc pour solutions \dfrac{11}{3} et -3.