On considère l'équation suivante :
\left(x-1\right)^{2}=2\left(1-x\right)
Quelle est la factorisation correcte de \left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right) ?
Sachant que \left(1-x\right)=-\left(x-1\right), on a :
\left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right)=\left(x-1\right)^{2}+2\left(x-1\right)
On remarque que le facteur \left(x-1\right) est commun aux deux termes. On peut donc factoriser par \left(x-1\right) :
\left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right)=\left(x-1\right)\left(\left(x-1\right)+2\right)
On obtient :
\left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)
La forme factorisée de \left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right) est donc : \left(x-1\right)\left(x+1\right).
Quelles sont les solutions de l'équation \left(x-1\right)^{2}=2\left(1-x\right) ?
On peut faire passer tous les membres d'un même côté de l'équation :
\left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right)=0
Or, on a déterminé que :
\left(x-1\right)^{2}-2\left(1-x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)
L'équation devient donc :
\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0
On est en présence d'un produit de facteurs. Or, on sait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs au moins est nul.
Les solutions de l'équation sont toutes les valeurs de x qui annulent l'un des facteurs.
On résout d'abord :
x-1=0
x=1
On résout ensuite :
x+1=0
x=-1
L'équation \left(x-1\right)^{2}=2\left(1-x\right) admet donc pour solutions -1 et 1.