On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \sin\left(2x\right)
Que peut-on dire de la parité de f ?
Une fonction f est impaire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x\in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Domaine de définition
Le domaine de définition de f étant \mathbb{R}, il est bien centré en 0.
Calcul de f(-x)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) = \sin\left(-2x\right)
Or on sait que pour tout réel a :
\sin\left(-a\right) = -sina.
On obtient donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) =-\sin\left(2x\right) = -f\left(x\right)
La fonction f est donc impaire.
Quelle proposition montre que f est périodique de période \pi ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+\pi\right) = \sin\left(2\left(x+\pi\right)\right)
f\left(x+\pi\right) = \sin\left(2x+2\pi\right)
.Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\sin\left(X+2\pi\right) = \sin\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+\pi\right) = \sin\left(2x\right) = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période \pi.
Quelle proposition prouve que l'on peut restreindre le domaine d'étude de f à \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right] ?
On sait que :
- f est périodique de période \pi, on peut donc restreindre son étude à un intervalle d'amplitude \pi, par exemple \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right].
- f est impaire, on peut donc réduire son étude à l'intervalle \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2}\right].
On peut donc restreindre l'étude de f à l'intervalle \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2}\right].