On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \cos x \sin x
Que peut-on dire de la parité de f ?
Une fonction f est impaire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x\in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Domaine de définition
Le domaine de définition de f étant \mathbb{R}, il est bien centré en 0.
Calcul de f(-x)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) = \cos\left(-x\right)\sin\left(-x\right)
Or on sait que pour tout réel a :
\cos\left(-a\right) = \cos a . et \sin\left(-a\right) = -sina
On obtient donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) =-\cos x \; \sin x= -f\left(x\right)
La fonction f est donc impaire.
Quelle proposition montre que f est périodique de période 2\pi ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+2\pi\right) = \cos\left(x+2\pi\right) \sin\left(x+2\pi\right)
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\cos \left(X+2\pi\right) = \cos\left(X\right) et \sin\left(X+2\pi\right) = \sin\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\pi\right) = cosx \; sinx = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période 2\pi.
Quelle proposition prouve que l'on peut restreindre le domaine d'étude de f à \left[ 0 ; \pi\right] ?
On sait que :
- f est périodique de période 2\pi, on peut donc restreindre son étude à un intervalle d'amplitude 2\pi, par exemple \left[ -\pi ; \pi\right].
- f est impaire, on peut donc réduire son étude à l'intervalle \left[ 0 ; \pi \right].
On peut donc restreinde l'étude de f a l'intervalle \left[ 0 ; \pi\right].