On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = 5\sin\left(4x+\pi\right)
Que peut-on dire de la parité de f ?
Une fonction f est impaire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x\in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Domaine de définition
Le domaine de définition de f étant \mathbb{R}, il est bien centré en 0.
Calcul de f(-x)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) = 5\sin\left(-4x+\pi\right)
Or on sait que pour tout réel X :
\sin\left(X+\pi\right) = -\sin\left(X\right), d'où :
f\left(-x\right) = -5\sin\left(-4x\right)
De plus, on sait que pour tout réel a :
\sin\left(-a\right) = -\sin\left(a\right), d'où :
f\left(-x\right) = 5\sin\left(4x\right)
Et, comme \sin\left(X+\pi\right) = -\sin\left(X\right) :
f\left(-x\right) = -5\sin\left(4x+\pi\right)
On obtient finalement :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) = -5\sin\left(4x+\pi\right)=-f\left(x\right)
La fonction f est donc impaire.
Quelle proposition montre que f est périodique de période \dfrac{\pi}{2} ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin\left(4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\pi\right)
f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin\left(4x+2\pi+\pi\right).
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\sin\left(X+2\pi\right) = \sin \left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = 5\sin \left(4x+\pi\right) = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.
Quelle proposition prouve que l'on peut restreindre le domaine d'étude de f à \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4} \right] ?
On sait que :
- f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}, on peut donc restreindre son étude à un intervalle d'amplitude \dfrac{\pi}{2}, par exemple \left[ -\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}\right].
- f est impaire, on peut donc réduire son étude à l'intervalle \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4}\right].
On peut donc restreinde l'étude de f a l'intervalle \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{4}\right].