On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \sin\left(\pi x\right)
Que peut-on dire de la parité de f ?
Une fonction f est impaire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x\in D_f, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
Domaine de définition
Le domaine de définition de f étant \mathbb{R}, il est bien centré en 0.
Calcul de f(-x)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) = \sin\left(-\pi x \right)
Or on sait que pour tout réel a :
\sin\left(-a\right) = -\sin\left(a\right).
On obtient donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right) =-\sin\left(\pi x\right)= -f\left(x\right)
La fonction f est donc impaire.
Quelle proposition montre que f est périodique de période 2 ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+2\right) = \sin\left(\pi\left(x+2\right)\right)
f\left(x+2\right) = \sin\left(\pi x+2\pi\right)
.Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\sin\left(X+2\pi\right) = \sin\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\right) = \sin\left(\pi x\right) = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période 2.
Quelle proposition prouve que l'on peut restreindre le domaine d'étude de f à \left[ 0 ; 1 \right] ?
On sait que :
- f est périodique de période 2, on peut donc restreindre son étude à un intervalle d'amplitude 2, par exemple \left[ -1 ; 1\right].
- f est paire, on peut donc réduire son étude à l'intervalle \left[ 0 ; 1\right].
On peut donc restreinde l'étude de f a l'intervalle \left[ 0 ; 1\right].