A l'aide des formules de duplication, développer \cos\left(3x\right)\\.
D'après le cours on sait que :
\cos\left(a+b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
En posant a =2x et b= x, on obtient :
\cos\left(2x+x\right) = \cos\left(2x\right)\cos\left(x\right)-\sin\left(2x\right)\sin\left(x\right)
Or, d'après le cours on sait que :
\sin\left(2a\right) = 2\cos\left(a\right)\sin\left(a\right)
et \cos\left(2a\right) = 2cos^2\left(a\right)-1
En posant a =x, on obtient :
\cos\left(3x\right) = \left(2cos^2\left(x\right)-1\right)\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)
\cos\left(3x\right) = 2cos^3\left(x\right)-\cos\left(x\right)-2sin^2\left(x\right)\cos\left(x\right)
Enfin, d'après le cours on sait que :
cos^2\left(x\right) +sin^2\left(x\right) = 1
On en déduit que sin^2\left(x\right) =1-cos^2\left(x\right)
En remplaçant dans l'expression précédente on obtient :
\cos\left(3x\right) = 2cos^3\left(x\right)-\cos\left(x\right)-2\left(1-cos^2\left(x\right)\right)\cos\left(x\right)
\cos\left(3x\right) = 2cos^3\left(x\right)-\cos\left(x\right)-2\cos\left(x\right)+2cos^3\left(x\right)
Ainsi, pour tout réel x, \cos\left(3x\right) = 4cos^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right)
Simplifier l'expression suivante à l'aide des formules d'addition et de duplication :
A=\cos\left(4x\right)
Simplifier l'expression suivante à l'aide des formules d'addition et de duplication :
A=\sin\left(4x\right)
Simplifier l'expression suivante à l'aide des formules d'addition et de duplication :
A=\sin\left(5x\right)
Simplifier l'expression suivante à l'aide des formules d'addition et de duplication :
A=\cos\left(12x\right)
Simplifier l'expression suivante à l'aide des formules d'addition et de duplication :
A=3\cos\left(x\right)+\cos \left(3x\right)