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Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

On peut démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à l'aide des vecteurs.

Soit le repère \(\displaystyle{\left(O;I,J\right)}\). On considère les points \(\displaystyle{A\left(1;0\right)}\), \(\displaystyle{B\left(-5;-3\right)}\), \(\displaystyle{C \left(-5;-6\right)}\) et \(\displaystyle{D\left(1; -3\right)}\).

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un quadrilatère \(\displaystyle{ABCD}\) est un parallélogramme si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}}\).

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}}\).

Etape 2

Calculer les coordonnées des vecteurs

On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \cr\cr y_C-y_D \end{pmatrix}}\)

On calcule les coordonnées des deux vecteurs :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}}\), soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -5-1\cr\cr -3-0 \end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -6\cr\cr -3 \end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C-x_D \cr\cr y_C-y_D \end{pmatrix}}\), soit \(\displaystyle{\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} -5-1\cr\cr -6-\left(-3\right) \end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} -6\cr\cr -3 \end{pmatrix}}\)
Etape 3

Conclure

On conclut :

  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}}\) alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
  • Sinon le quadrilatère ABCD n'est pas un parallélogramme.

On en déduit que \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}}\). Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.