Déterminer la forme canonique du trinôme Méthode

Sommaire

1Réciter le cours 2Calculer \alpha 3Calculer \beta 4Conclure

La forme canonique d'un trinôme du second degré ax^2+bx+c est a\left(x-\alpha\right)^2+\beta avec \alpha = -\dfrac{b}{2a} et \beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}.

Déterminer la forme canonique du polynôme défini pour tout réel x par :

f\left(x\right) = x^2-2x-3

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que la forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c est :

f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta, avec :

  • \alpha = -\dfrac{b}{2a}
  • \beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}

La forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c est :

f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta, avec :

  • \alpha = -\dfrac{b}{2a}
  • \beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}
Etape 2

Calculer \alpha

On calcule \alpha.

Ici, on a :

\alpha= \dfrac{-\left(-2\right)}{2\times 1}

Soit :

\alpha=1

Etape 3

Calculer \beta

On calcule \beta :

  • Si f\left(\alpha\right) est simple à calculer (par exemple si \alpha=1 ou \alpha=-1 ), on utilise cette forme.
  • Sinon on utilise \beta= \dfrac{-\Delta}{4a}, en particulier si on connaît déjà \Delta.

Comme \alpha =1, on calcule \beta grâce à la formule \beta = f\left(\alpha \right). On obtient :

\beta= f\left(1\right) = 1^2-2\times 1 -3

Soit :

\beta= -4

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant la forme canonique du trinôme du second degré.

On en déduit que, pour tout réel x :

f\left(x\right) =\left(x-1\right)^2-4