La forme canonique d'un trinôme du second degré ax^2+bx+c est a\left(x-\alpha\right)^2+\beta avec \alpha = -\dfrac{b}{2a} et \beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}.
Déterminer la forme canonique du polynôme défini pour tout réel x par :
f\left(x\right) = x^2-2x-3
Réciter le cours
On rappelle que la forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c est :
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta, avec :
- \alpha = -\dfrac{b}{2a}
- \beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}
La forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c est :
f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta, avec :
- \alpha = -\dfrac{b}{2a}
- \beta = f\left(\alpha\right) = \dfrac{-\Delta}{4a}
Calculer \alpha
On calcule \alpha.
Ici, on a :
\alpha= \dfrac{-\left(-2\right)}{2\times 1}
Soit :
\alpha=1
Calculer \beta
On calcule \beta :
- Si f\left(\alpha\right) est simple à calculer (par exemple si \alpha=1 ou \alpha=-1 ), on utilise cette forme.
- Sinon on utilise \beta= \dfrac{-\Delta}{4a}, en particulier si on connaît déjà \Delta.
Comme \alpha =1, on calcule \beta grâce à la formule \beta = f\left(\alpha \right). On obtient :
\beta= f\left(1\right) = 1^2-2\times 1 -3
Soit :
\beta= -4
Conclure
On conclut en donnant la forme canonique du trinôme du second degré.
On en déduit que, pour tout réel x :
f\left(x\right) =\left(x-1\right)^2-4