Donner le signe d'un trinôme du second degré Méthode

Sommaire

1Identifier a, b et c 2Calculer le discriminant \Delta 3Enoncer la conclusion selon le signe de \Delta 4Calculer les racines de P si nécessaire 5Dresser le tableau de signes

Un trinôme du second degré est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c. On sait déterminer son signe selon les valeurs de x.

Déterminer le signe du trinôme : P\left(x\right)=x^2-3x+2

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c où :

  • a est le coefficient de x2
  • b est le coefficient de x
  • c est le terme constant

Pour le trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2, on a :

  • a=1
  • b=-3
  • c=2
Etape 2

Calculer le discriminant \Delta

Le discriminant est : \Delta = b^2-4ac.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta = \left(-3\right)^{2} - 4\times1\times2

\Delta = 9-8

\Delta = 1

Etape 3

Enoncer la conclusion selon le signe de \Delta

Cas 1

\Delta>0

Le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur.

Cas 2

\Delta=0

Le trinôme est du signe de a et s'annule en x_0=\dfrac{-b}{2a}

Cas 3

\Delta<0

Le trinôme est toujours du signe de a (il ne s'annule jamais).

Ici, \Delta >0 .

Le trinôme est donc du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.

Etape 4

Calculer les racines de P si nécessaire

Cas 1

\Delta>0

Le trinôme admet deux racines distinctes x_{1} et x_2 avec :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Cas 2

\Delta=0

Le trinôme admet une racine double x_0=\dfrac{-b}{2a}.

Cas 3

\Delta<0

Le trinôme n'admet pas de racine, on saute donc cette étape.

\Delta>0, le trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2 admet donc deux racines distinctes qui sont :

\begin{aligned}x_{1} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)-\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3-1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}x_{2} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-3\right)+\sqrt{1}}{2\times1} \\ &= \dfrac{3+1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

Etape 5

Dresser le tableau de signes

On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme.

On obtient le tableau de signes du trinôme P\left(x\right)=x^2-3x+2 :

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