Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{-3x}{-2x^2+5x-10}
La fonction f est définie pour tous les réels x vérifiant -2x^2+5x-10\neq0.
On cherche donc à résoudre l'équation -2x^2+5x-10=0. Les solutions seront des valeurs à exclure de l'ensemble de définition de f.
On calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-10\right)=25-80=-55
\Delta\lt0 donc le trinôme ne possède pas de racine.
Ainsi l'équation -2x^2+5x-10=0 n'a pas de solution.
L'ensemble de définition de f est \mathbb{R}.
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{-2+5x^2}{\sqrt{x^2-3x+2}}
La fonction f est définie pour tous les réels x vérifiant x^2-3x+2\gt0.
On cherche donc à déterminer le signe x^2-3x+2.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times1\times2=9-8=1
\Delta\gt0 donc le trinôme admet deux racines réelles x_1 et x_2. Le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines et du signe de -a (négatif) à l'intérieur des racines.
Calcul des racines
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{3-1}{2}=\dfrac{2}{2}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2
Tableau de signes
On dresse alors le tableau de signes du trinôme :
L'ensemble de définition de f est \left] -\infty;1 \right[\cup\left] 2,;+\infty \right[.
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\sqrt{-3x^2+5x+12}
La fonction f est définie pour tous les réels x vérifiant -3x^2+5x+12\geq 0.
On cherche donc à déterminer le signe du trinôme -3x^2+5x+12.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-3\right)\times12=25+144=169
\Delta\gt0 donc le trinôme admet deux racines réelles x_1 et x_2. Le trinôme est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines et du signe de -a (positif) à l'intérieur des racines.
Calcul des racines
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{169}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-5-13}{-6}=\dfrac{-18}{-6}=3
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{169}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-5+13}{-6}=\dfrac{8}{-6}=-\dfrac{4}{3}
Tableau de signes
On peut alors dresser le tableau de signes du trinôme :
L'ensemble de définition de f est \left[ -\dfrac{4}{3};3 \right].
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{3x^2-x+2}{4x^2+7x+1}
La fonction f est définie pour tous les réels x vérifiant 4x^2+7x+1\neq0.
On cherche donc à résoudre l'équation 4x^2+7x+1=0. Les solutions seront des valeurs à exclure de l'ensemble de définition de f.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times4\times1=49-16=33
\Delta\gt0 donc le trinôme admet deux racines réelles x_1 et x_2.
Calcul des racines
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2\times4}=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{8}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2\times4}=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{8}
L'ensemble de définition de f est \mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{-7-\sqrt{33}}{8};\dfrac{-7+\sqrt{33}}{8} \right\}.
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2x^2-5x-3}}{x^2-x-2}
La fonction f est définie pour tous les réels x vérifiant les deux conditions suivantes :
\begin{cases} 2x^2-5x-3\geq 0 \cr \cr x^2-x-2\neq 0 \end{cases}
Première condition : 2x^2-5x-3\geqslant0
On étudie le signe de 2x^2-5x-3 :
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times2\times\left(-3\right)=25+24=49
\Delta\gt0 donc le trinôme admet deux racines réelles x_1 et x_2 :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{5-7}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{49}}{2\times2}=\dfrac{5+7}{4}=\dfrac{12}{4}=3
Le coefficient du terme de degré 2 est positif (a = 2), donc le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines et négatif à l'intérieur.
On en déduit : 2x^2-5x-3\geqslant0\Leftrightarrow x\in \left] -\infty;-\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[3; +\infty\right[
Deuxième condition : x^2-x-2\neq0 :
\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times1\times\left(-2\right)=1+8=9
\Delta\gt0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :
- x_3=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2\times1}=\dfrac{1-3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1
- x_4=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2\times1}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2
La fonction f n'est donc pas définie en -1 et 2.
Domaine de définition de f :
f est donc définie pour tout x réel vérifiant ces conditions :
\begin{cases} x\in \left] -\infty;-\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[3; +\infty\right[ \cr \cr x\neq-1 \cr \cr x\neq2 \end{cases}
L'ensemble de définition de f est \left]-\infty;-1 \right[\cup\left]-1;-\dfrac{1}{2} \right]\cup\left[3;+\infty \right[.
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par l'équation suivante ?
f\left(x\right)=\dfrac{8x^2-x-1}{\sqrt{3x^2-x-5}}
La fonction f est définie pour tous les réels x vérifiant 3x^2-x-5\gt0.
On cherche donc à déterminer le signe du trinôme 3x^2-x-5=0.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times3\times\left(-5\right)=1+60=61
\Delta\gt0 donc le trinôme admet deux racines réelles x_1 et x_2. Le coefficient du terme de degré 2 est positif (c'est 3) donc le trinôme est positif à l'extérieur de ces racines et négatif à l'intérieur.
Calcul des racines
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{61}}{2\times3}=\dfrac{1-\sqrt{61}}{6}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{61}}{2\times3}=\dfrac{1+\sqrt{61}}{6}
L'ensemble de définition de f est \left]-\infty;\dfrac{1-\sqrt{61}}{6} \right[\cup\left]\dfrac{1+\sqrt{61}}{6};+\infty \right[.