Donner les racines d'un trinôme du second degréMéthode

Les racines réelles d'un trinôme P défini pour tout réel x par P\left(x\right)=ax^2+bx+c sont les réels x tels que P\left(x\right)=0

Un trinôme admet 0, 1 ou 2 racines que l'on sait déterminer.

Déterminer les racines réelles du trinôme : P\left(x\right) = 2x^2 −5x −3

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c

a est le coefficient de x2, b est le coefficient de x et c est le terme constant.

Pour le trinôme P\left(x\right)=2x^2-5x-3, on a :

  • a = 2,
  • b = −5
  • c = −3
Etape 2

Calculer le discriminant \Delta

On a \Delta = b^2-4ac.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta= \left(-5\right)^2 -4\times 2 \times \left(-3\right)

\Delta= 25+24

\Delta=49

Etape 3

Conclure selon la valeur de \Delta

Cas 1

\Delta>0

Le trinôme admet deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2}

  • x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
  • x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
Cas 2

\Delta = 0

Le trinôme admet une racine unique, notée x_{0}, et appelée "racine double".
x_{0} = \dfrac{-b}{2a}

Cas 3

\Delta < 0

Le trinôme n'a pas de racine réelle.

\Delta >0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :

\begin{aligned}x_{1} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)+\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5+7}{4} \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}x_{2} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)-\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5-7}{4} \\ &= \dfrac{-1}{2}\end{aligned}